Для луча, падающего на границу раздела двух прозрачных сред под углом 45° и имеющего угол преломления 60°, вычислите

Звездопад_Шаман

49

Для решения этой задачи нам понадобится применить закон преломления света, известный также как закон Снеллиуса. Данный закон утверждает, что отношение синуса угла падения (\(\sin(\theta_1)\)) к синусу угла преломления (\(\sin(\theta_2)\)) равно отношению показателя преломления первой среды (\(n_1\)) к показателю преломления второй среды (\(n_2\)).

Математически, закон преломления можно записать следующим образом:
\[
\frac{{\sin(\theta_1)}}{{\sin(\theta_2)}} = \frac{{n_2}}{{n_1}}
\]

В данной задаче имеется угол падения \(\theta_1 = 45^\circ\) и угол преломления \(\theta_2 = 60^\circ\). Наша цель - вычислить отношение показателей преломления \(n_2\) и \(n_1\).

Используя формулу закона преломления, мы можем записать:
\[
\frac{{\sin(45^\circ)}}{{\sin(60^\circ)}} = \frac{{n_2}}{{n_1}}
\]

Поскольку значения синусов углов равны \(\sin(45^\circ) = \frac{{\sqrt{2}}}{{2}}\) и \(\sin(60^\circ) = \frac{{\sqrt{3}}}{{2}}\), мы можем подставить их в формулу:
\[
\frac{{\frac{{\sqrt{2}}}{{2}}}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{{2}}}} = \frac{{n_2}}{{n_1}}
\]

Упростим числитель и знаменатель, а затем поделим эти значения:
\[
\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{3}}} = \frac{{n_2}}{{n_1}}
\]

Чтобы избавиться от корней в знаменателе и числителе, мы можем умножить обе части уравнения на \(\sqrt{3}\):
\[
\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{3}}} \cdot \sqrt{3} = \frac{{n_2}}{{n_1}} \cdot \sqrt{3}
\]

После упрощения получаем:
\[
\sqrt{2} = \frac{{n_2}}{{n_1}} \cdot \sqrt{3}
\]

Теперь нам нужно выразить отношение показателей преломления \(n_2\) и \(n_1\). Для этого мы делим обе части уравнения на \(\sqrt{3}\):
\[
\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{3}}} = \frac{{n_2}}{{n_1}} \cdot \frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{3}}}
\]

После упрощения получаем:
\[
\sqrt{\frac{{2}}{{3}}} = \frac{{n_2}}{{n_1}}
\]

Теперь осталось возвести обе части уравнения в квадрат, чтобы получить отношение показателей преломления:
\[
\left(\sqrt{\frac{{2}}{{3}}}\right)^2 = \left(\frac{{n_2}}{{n_1}}\right)^2
\]

После упрощения получаем:
\[
\frac{{2}}{{3}} = \frac{{n_2^2}}{{n_1^2}}
\]

Теперь можем выразить отношение показателей преломления \(n_2\) и \(n_1\):
\[
\frac{{n_2^2}}{{n_1^2}} = \frac{{2}}{{3}}
\]

Чтобы избавиться от степени в числителе, возведем в квадрат обе части уравнения:
\[
\left(\frac{{n_2^2}}{{n_1^2}}\right)^2 = \left(\frac{{2}}{{3}}\right)^2
\]

После упрощения получаем:
\[
\frac{{n_2^4}}{{n_1^4}} = \frac{{4}}{{9}}
\]

Наконец, умножаем обе части уравнения на \(n_1^4\) и делим на 4:
\[
n_2^4 = \frac{{4}}{{9}} \cdot n_1^4
\]

Для вычисления значения \(n_2\) воспользуемся четвертой степенью:
\[
n_2 = \sqrt[4]{{\frac{{4}}{{9}} \cdot n_1^4}}
\]

Теперь, если вы знаете значение показателя преломления \(n_1\), вы можете вычислить значение \(n_2\) с помощью этой формулы.