Доказать, что четырехугольник, образованный последовательным соединением середин ребер ad, bb1, bc, является плоским

Zvezdopad

65

Чтобы доказать, что четырехугольник, образованный соединением середин ребер \(ad\), \(bb_1\), \(bc\), является плоским и параллелограммом, нам нужно рассмотреть его свойства и воспользоваться определениями плоского и параллелограмма.

Для начала, рассмотрим свойство плоскости. Четырехугольник находится в плоскости, если все его вершины лежат на одной плоскости. Для этого нам нужно убедиться, что точки \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) лежат на одной плоскости.

Мы знаем, что середины отрезков \(ad\), \(bb_1\), \(bc\) обозначаются соответственно как \(m_1\), \(m_2\), \(m_3\).

Рассмотрим треугольники \(\triangle adm_1\) и \(\triangle bb_1m_2\). В этих треугольниках у нас есть две пары параллельных сторон: \(ad \parallel m_1m_2\) и \(dm_1 \parallel m_2b_1\). Из этого следует, что эти треугольники находятся в одной плоскости, так как они удовлетворяют критерию плоскости по сторонам и углам.

Рассмотрим теперь треугольники \(\triangle adm_1\) и \(\triangle bcm_3\). В этих треугольниках мы также имеем две пары параллельных сторон: \(ad \parallel m_1m_3\) и \(dm_1 \parallel m_3b\). Таким образом, эти треугольники также находятся в одной плоскости.

Теперь обратимся к треугольникам \(\triangle bb_1m_2\) и \(\triangle bcm_3\). Здесь параллельными сторонами служат \(b_1m_2 \parallel m_3b\), а также \(bb_1 \parallel bc\). Значит, и эти треугольники лежат в одной плоскости.

Таким образом, все треугольники \(\triangle adm_1\), \(\triangle bb_1m_2\), \(\triangle bcm_3\) находятся в одной плоскости, а значит четырехугольник, образованный их объединением, также лежит в этой плоскости.

Теперь докажем, что данный четырехугольник является параллелограммом. Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.

Мы уже заметили, что линии \(m_1m_2\) и \(m_2m_3\) параллельны. Теперь обратим внимание на стороны этого четырехугольника.

Из треугольников \(\triangle adm_1\) и \(\triangle bcm_3\) мы можем сказать, что \(ad \parallel bc\).

Из треугольников \(\triangle bb_1m_2\) и \(\triangle bcm_3\) мы можем сделать вывод, что \(bb_1 \parallel m_3c\).

Таким образом, все стороны параллелограмма параллельны друг другу.

Итак, мы доказали, что четырехугольник, образованный последовательным соединением середин ребер \(ad\), \(bb_1\), \(bc\), является плоским и параллелограммом.