Докажите, что для всех значений n выполняется: 1) GCD(n, 2n+1) = 1 2) GCD(8n+4, 4n+8

Добрый_Лис_2766

33

Хорошо, давайте решим эти задачи по порядку.

1) Для начала, давайте определим, что означает GCD. GCD, или наибольший общий делитель, двух чисел - это наибольшее число, на которое оба числа делятся без остатка.

Теперь рассмотрим первое утверждение: GCD(n, 2n+1) = 1. Чтобы доказать это утверждение, нам нужно показать, что наибольший общий делитель этих двух чисел равен 1 для всех значений n.

Предположим, что существует такое число n, для которого GCD(n, 2n+1) не равен 1. Это значит, что у них есть общий делитель, отличный от 1. Пусть этот делитель будет d.

Тогда мы можем записать, что n = a * d и 2n+1 = b * d, где a и b - целые числа.

Подставляем значение n во второе уравнение: 2(a * d) + 1 = b * d. Раскрываем скобки: 2ad + 1 = bd. Переносим все слагаемые с d на одну сторону уравнения: bd - 2ad = 1. Факторизуем выражение: d(b - 2a) = 1.

Теперь обратите внимание на это уравнение. Так как d - делитель числа 1, единственное возможное значение d - это 1 или -1. Других возможных значений у нас нет.

Если d = 1, то получаем b - 2a = 1. Это означает, что b и 2a отличаются на 1. Поскольку оба a и b - целые числа, это невозможно.

Таким образом, мы приходим к противоречию: наше предположение, что GCD(n, 2n+1) не равен 1, является неправильным. Следовательно, для всех значений n выполняется GCD(n, 2n+1) = 1.

2) Теперь перейдем ко второму утверждению: GCD(8n+4, 4n+8). Чтобы доказать это утверждение, мы воспользуемся похожим рассуждением.

Предположим, что существует такое число n, для которого GCD(8n+4, 4n+8) не равен 1. Пусть этот делитель будет d.

Тогда мы можем записать, что 8n+4 = a * d и 4n+8 = b * d, где a и b - целые числа.

Если мы поделим первое уравнение на 4, получим 2n + 1 = \frac{a}{2} * d. Это означает, что d - делитель числа 2n+1.

Теперь заметим, что 2n+1 является нечетным числом для любого значения n. А значит, любое число, являющееся делителем 2n+1, также должно быть нечетным. Но 4 - четное число, а значит, не может быть делителем 2n+1.

Таким образом, мы приходим к противоречию: наше предположение, что GCD(8n+4, 4n+8) не равен 1, является неправильным. Следовательно, для всех значений n выполняется GCD(8n+4, 4n+8) = 1.