Докажите, что если перпендикуляры, опущенные из точки O на стороны AB и AC треугольника ABC, равны между собой (OK=OF

Морозный_Воин

69

Для доказательства данного утверждения, мы воспользуемся свойствами перпендикуляров и свойствами вписанной окружности.

Пусть перпендикуляры, опущенные из точки O на стороны AB и AC, равны между собой (OK = OF). Мы должны показать, что точка O является центром вписанной окружности треугольника ABC.

Для начала, вспомним определение вписанной окружности. Вписанная окружность треугольника ABC касается всех его сторон внутренним образом.

Давайте рассмотрим стороны AB и AC треугольника ABC. Пусть точка K - точка пересечения перпендикуляра, опущенного из точки O на сторону AB, и стороны AB. Аналогично, пусть точка F - точка пересечения перпендикуляра, опущенного из точки O на сторону AC, и стороны AC.

Так как OK и OF равны между собой (по условию), то OK = OF. Поскольку OK является перпендикуляром к стороне AB, а OF - перпендикуляром к стороне AC, это означает, что OK и OF являются радиусами вписанной окружности треугольника ABC, проведенными к точкам касания окружности со сторонами AB и AC, соответственно.

Нам осталось показать, что OK и OF также равны расстоянию от точки O до центра вписанной окружности треугольника ABC.

Давайте предположим, что O1 - центр вписанной окружности треугольника ABC. Тогда по свойству вписанной окружности треугольника, расстояние от точки O1 до стороны AB должно быть равно расстоянию от точки O1 до стороны AC.

Но так как OK и OF являются радиусами вписанной окружности треугольника ABC, проведенными к точкам касания окружности со сторонами AB и AC, соответственно, то расстояние от точки O1 до стороны AB равно расстоянию от точки O1 до стороны AC.

Таким образом, расстояния от точки O до сторон AB и AC равными, то есть OK = OF, и расстояние от точки O до центра вписанной окружности равно расстоянию от точки O1 до центра вписанной окружности.

Таким образом, точка O является центром вписанной окружности треугольника ABC.