Докажите, что функция y=49/x обратима и найдите ее аналитическое представление

Serdce_Ognya

12

Для доказательства обратимости функции $y=\frac{49}{x}$ нам нужно показать, что она является инъективной (то есть каждому значению $x$ соответствует только одно значение $y$) и сюръективной (то есть для любого значения $y$ найдется соответствующее значение $x$). Давайте проверим оба эти свойства.

1. Инъективность:

Для доказательства инъективности функции, будем предполагать, что есть два разных значения $x_1$ и $x_2$, для которых функция дает одно и то же значение $y$. Это можно записать математически следующим образом:

$\frac{49}{x_1}=\frac{49}{x_2}$

Теперь домножим обе части равенства на $x_1{x}_2$:

$x_2\cdot 49=x_1\cdot 49$

Заметим, что здесь мы домножили обе части на ненулевые значения $x_1$ и $x_2$, следовательно, мы можем сократить 49 с обеих сторон:

$x_2=x_1$

Таким образом, мы получили, что $x_1=x_2$, что означает, что функция $y=\frac{49}{x}$ является инъективной.

2. Сюръективность:

Для доказательства сюръективности функции мы должны показать, что для любого значения $y$ существует соответствующее значение $x$.

Исходя из уравнения функции $y=\frac{49}{x}$, мы можем найти значение $x$, соответствующее данному значению $y$, путем перестановки переменных:

$xy=49$

Делая обратную операцию, разделим обе части уравнения на $y$:

$x=\frac{49}{y}$

Таким образом, для любого значения $y$ существует соответствующее значение $x$, что означает, что функция $y=\frac{49}{x}$ является сюръективной.

Таким образом, мы доказали, что функция $y=\frac{49}{x}$ обратима.

Аналитическое представление функции $y=\frac{49}{x}$ уже дано, это само выражение.