Докажите, что функция y=49/x обратима и найдите ее аналитическое представление

Serdce_Ognya

12

Для доказательства обратимости функции \(y=\frac{49}{x}\) нам нужно показать, что она является инъективной (то есть каждому значению \(x\) соответствует только одно значение \(y\)) и сюръективной (то есть для любого значения \(y\) найдется соответствующее значение \(x\)). Давайте проверим оба эти свойства.

1. Инъективность:

Для доказательства инъективности функции, будем предполагать, что есть два разных значения \(x_1\) и \(x_2\), для которых функция дает одно и то же значение \(y\). Это можно записать математически следующим образом:

\(\frac{49}{x_1} = \frac{49}{x_2}\)

Теперь домножим обе части равенства на \(x_1x_2\):

\(x_2 \cdot 49 = x_1 \cdot 49\)

Заметим, что здесь мы домножили обе части на ненулевые значения \(x_1\) и \(x_2\), следовательно, мы можем сократить 49 с обеих сторон:

\(x_2 = x_1\)

Таким образом, мы получили, что \(x_1 = x_2\), что означает, что функция \(y=\frac{49}{x}\) является инъективной.

2. Сюръективность:

Для доказательства сюръективности функции мы должны показать, что для любого значения \(y\) существует соответствующее значение \(x\).

Исходя из уравнения функции \(y=\frac{49}{x}\), мы можем найти значение \(x\), соответствующее данному значению \(y\), путем перестановки переменных:

\(xy = 49\)

Делая обратную операцию, разделим обе части уравнения на \(y\):

\(x = \frac{49}{y}\)

Таким образом, для любого значения \(y\) существует соответствующее значение \(x\), что означает, что функция \(y=\frac{49}{x}\) является сюръективной.

Таким образом, мы доказали, что функция \(y=\frac{49}{x}\) обратима.

Аналитическое представление функции \(y=\frac{49}{x}\) уже дано, это само выражение.