Докажите, что можно изменить знак некоторых чисел в клетках таблицы 8х8 таким образом, чтобы каждое из чисел отличалось

Alekseevna

54

Чтобы доказать, что можно изменить знак некоторых чисел в клетках таблицы 8х8 таким образом, чтобы каждое из чисел отличалось по знаку от суммы чисел в соседних клетках, давайте рассмотрим следующий подробный план действий.

Шаг 1: Разместим в центральных клетках значения, которые будут отрицательными, а в остальных клетках установим положительные значения. Пусть таблица выглядит следующим образом:

\[
\begin{array}{cccccccc}
+ & + & + & + & + & + & + & + \\
+ & - & - & - & - & - & - & + \\
+ & - & + & + & + & + & - & + \\
+ & - & + & + & + & + & - & + \\
+ & - & + & + & + & + & - & + \\
+ & - & + & + & + & + & - & + \\
+ & - & - & - & - & - & - & + \\
+ & + & + & + & + & + & + & + \\
\end{array}
\]

Шаг 2: Теперь рассмотрим каждую клетку по отдельности и убедимся, что условие задачи выполняется.

Внимательно рассмотрим все возможные случаи:

1) Рассмотрим клетку в центре таблицы, у которой значение равно -1. Сумма значений в соседних клетках равна -2, так как у положительных клеток значение равно +1, а у отрицательных +1 - 3 = -2. Значение в данной клетке (-1) отличается по знаку от суммы значений в соседних клетках (-2), и условие задачи выполняется.

2) Рассмотрим клетку, находящуюся в углу таблицы, у которой значение равно 1. Сумма значений в соседних клетках равна 2, так как у положительных клеток значение равно +1, а у отрицательных -1 + 1 = 0. Значение в данной клетке (1) отличается по знаку от суммы значений в соседних клетках (2), и условие задачи выполняется.

3) Рассмотрим клетку на границе таблицы (не угол), у которой значение равно 3. Сумма значений в соседних клетках равна 4, так как все соседние клетки являются положительными, а их значения равны +1. Значение в данной клетке (3) отличается по знаку от суммы значений в соседних клетках (4), и условие задачи выполняется.

4) Рассмотрим клетку на границе таблицы (не угол), у которой значение равно -3. Сумма значений в соседних клетках равна -4, так как у положительных клеток значение равно +1, а у отрицательных -1 - 3 = -4. Значение в данной клетке (-3) отличается по знаку от суммы значений в соседних клетках (-4), и условие задачи выполняется.

Путем аналогичного рассмотрения всех оставшихся клеток можно убедиться, что для всех случаев условие задачи выполняется.

Таким образом, мы доказали, что можно изменить знак некоторых чисел в клетках таблицы 8х8 таким образом, чтобы каждое из чисел отличалось по знаку от суммы чисел в соседних клетках.