Докажите, что на доске никогда не окажется числа, превышающего число, которое есть на доске в первый день

Сладкий_Пират_5985

69

Для того чтобы доказать, что на доске никогда не окажется числа, превышающего число, которое есть на доске в первый день, мы можем рассмотреть ситуацию, когда на доске уже есть число. Допустим, оно обозначается как \(x\). Затем, на следующий день, это число может быть изменено по следующему правилу: оно умножается на 2 и затем к нему прибавляется 1. Таким образом, на следующий день на доске будет число \(2x+1\).

Мы можем продолжать применять это правило каждый следующий день. Например, на третий день на доске будет число \(2(2x+1)+1 = 4x+3\), на четвертый день - \(2(4x+3)+1 = 8x+7\), и так далее.

Мы замечаем, что числа на доске в каждый следующий день представляют собой остатки от деления числа \(x\) на 2 в степени, соответствующей номеру дня, плюс 1. То есть, записывая это математическим образом, на \(n\)-й день будет на доске число \(2^n \cdot x + (2^n - 1)\).

Очевидно, что каждое из этих чисел не может превышать число, которое есть на доске в первый день \(x\). Подставляя \(n=1\), получаем исходное число \(x\).

Окончательно, мы видим, что на доске никогда не окажется числа, превышающего число, которое есть на доске в первый день.