Докажите, что независимо от распределения стартовых номеров спортсменам, найдутся два знакомых спортсмена, номера

Orel

62

Для решения данной задачи, давайте рассмотрим все возможные варианты распределения стартовых номеров среди спортсменов.

Предположим, у нас имеется n спортсменов и каждый из них получает стартовый номер от 1 до n. Проверим, найдутся ли два знакомых спортсмена, номера которых имеют одинаковую первую цифру вне зависимости от распределения номеров.

Рассмотрим три случая:

1. n < 10:
Если количество спортсменов меньше 10, то все их номера состоят из одной цифры. Очевидно, что в этом случае у нас не может быть двух спортсменов с одинаковыми первыми цифрами.

2. n >= 10, но n < 100:
Если количество спортсменов больше или равно 10, но меньше 100, то у каждого номера будет две цифры. Следовательно, возможны варианты номеров от 10 до 99. В этом случае мы замечаем, что по крайней мере два спортсмена должны иметь одинаковые первые цифры, так как в первом разряде мы можем выбрать только 9 различных цифр от 1 до 9.

3. n >= 100:
Предположим, что n равно 100. Здесь у каждого номера будет три цифры, и возможны варианты номеров от 100 до 999. Можем заметить, что в первом разряде у нас также есть только 9 возможных цифр (от 1 до 9). Если предположить, что каждый из 100 спортсменов имеет уникальную первую цифру в своем номере, то в итоге мы сможем получить 100 разных цифр в первом разряде номеров спортсменов. Однако, эта гипотеза противоречит факту о том, что у нас имеется только 9 возможных цифр в первом разряде. Следовательно, по принципу Дирихле, каким бы ни было распределение номеров, всегда найдутся два спортсмена, номера которых имеют одинаковую первую цифру.

Таким образом, мы можем утверждать, что независимо от распределения стартовых номеров спортсменов, всегда найдутся два знакомых спортсмена, номера которых имеют одинаковую первую цифру.