Докажите, что отрезок, соединяющий середины двух сторон равнобедренного треугольника, параллелен третьей стороне

Snezhka

51

Чтобы доказать, что отрезок, соединяющий середины двух сторон равнобедренного треугольника, параллелен третьей стороне, давайте рассмотрим следующее:

Пусть у нас есть равнобедренный треугольник \(ABC\) с основанием \(AB\) и равными сторонами \(AC\) и \(BC\). Обозначим середину стороны \(AC\) как точку \(M\), середину стороны \(BC\) как точку \(N\) и точку пересечения \(MN\) с третьей стороной \(AB\) как точку \(P\).

Теперь мы должны доказать, что отрезок \(MN\) параллелен стороне \(AB\).

1. Поскольку \(M\) и \(N\) являются серединами сторон \(AC\) и \(BC\) соответственно, то \(AM = MC\) и \(BN = NC\).

2. Так как треугольник \(ABC\) равнобедренный, то углы при основании \(AB\) равны: \(\angle ACB = \angle ABC\).

3. Проведем отрезки \(MP\) и \(NP\). Теперь рассмотрим треугольники \(MPC\) и \(NPB\). В них:

- \(MP\) и \(NP\) - это медианы треугольников \(AMC\) и \(BNC\) соответственно.

- Медиана треугольника делит сторону пропорционально, поэтому \(\frac{MP}{AM} = \frac{1}{2}\) и \(\frac{NP}{BN} = \frac{1}{2}\).

4. Из пункта 3 следует, что \(\frac{MP}{AM} = \frac{NP}{BN} = \frac{1}{2}\), что означает, что треугольники \(MPC\) и \(NPB\) подобны треугольнику \(ABC\) по принципу "сторона - медиана - сторона".

5. Из подобия треугольников следует, что соответствующие стороны параллельны. Таким образом, отрезок \(MN\) параллелен стороне \(AB\).

Таким образом, мы доказали, что отрезок, соединяющий середины двух сторон равнобедренного треугольника, параллелен третьей стороне.