Докажите, что отрезок, соединяющий середины двух сторон равнобедренного треугольника, параллелен третьей стороне

Snezhka

51

Чтобы доказать, что отрезок, соединяющий середины двух сторон равнобедренного треугольника, параллелен третьей стороне, давайте рассмотрим следующее:

Пусть у нас есть равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AB$ и равными сторонами $AC$ и $BC$. Обозначим середину стороны $AC$ как точку $M$, середину стороны $BC$ как точку $N$ и точку пересечения $MN$ с третьей стороной $AB$ как точку $P$.

Теперь мы должны доказать, что отрезок $MN$ параллелен стороне $AB$.

1. Поскольку $M$ и $N$ являются серединами сторон $AC$ и $BC$ соответственно, то $AM=MC$ и $BN=NC$.

2. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, то углы при основании $AB$ равны: $\mathrm{\angle }ACB=\mathrm{\angle }ABC$.

3. Проведем отрезки $MP$ и $NP$. Теперь рассмотрим треугольники $MPC$ и $NPB$. В них:

- $MP$ и $NP$ - это медианы треугольников $AMC$ и $BNC$ соответственно.

- Медиана треугольника делит сторону пропорционально, поэтому $\frac{MP}{AM}=\frac{1}{2}$ и $\frac{NP}{BN}=\frac{1}{2}$.

4. Из пункта 3 следует, что $\frac{MP}{AM}=\frac{NP}{BN}=\frac{1}{2}$, что означает, что треугольники $MPC$ и $NPB$ подобны треугольнику $ABC$ по принципу "сторона - медиана - сторона".

5. Из подобия треугольников следует, что соответствующие стороны параллельны. Таким образом, отрезок $MN$ параллелен стороне $AB$.

Таким образом, мы доказали, что отрезок, соединяющий середины двух сторон равнобедренного треугольника, параллелен третьей стороне.