Докажите, что параллелограмм ABCD является четырехугольником, у которого вершинами являются точки, в которых
Докажите, что параллелограмм ABCD является четырехугольником, у которого вершинами являются точки, в которых пересекаются медианы.
Andreevich 37
Для начала давайте вспомним, что такое медиана. Медиана в данной задаче - это отрезок, который соединяет середину одной стороны параллелограмма с противоположным углом. Назовем эти середины как точки E, F, G, H, где E - середина стороны AB, F - середина стороны BC, G - середина стороны CD и H - середина стороны DA. То есть, точка E - точка пересечения медиан, и так далее.Теперь нам нужно доказать, что точка E (пересечение медиан) лежит на отрезке с концами в точках A и C. Для начала заметим, что медианы равны двум парам противоположных сторон параллелограмма. То есть, AE равно CD и DG равно AB. Также, из свойства медианы мы знаем, что точка E находится в середине стороны AB.
Теперь посмотрим на треугольник ADC. В нем стороны AD и CD равны, так как это параллелограмм. Также, мы знаем, что точка G - середина стороны CD. Исходя из свойства середины отрезка, мы можем сказать, что DG равно AC.
Таким образом, получается, что AE равно CD и DG равно AC. Значит, в треугольнике ADC стороны AD и AC равны.
Теперь посмотрим на треугольник ABC. В нем стороны AB и BC равны, так как это параллелограмм. А из приведенной ранее информации, мы знаем, что точка E - середина стороны AB, а точка F - середина стороны BC. Исходя из свойства середины отрезка, мы можем сказать, что AE равно CF.
Теперь, если мы рассмотрим треугольники ADC и ABC, то у них будут равные стороны AD и AC, а также равные стороны AE и CF. Из этого мы можем сделать вывод, что треугольники ADC и ABC равны по двум сторонам и одному углу между ними (угол A). Из этого следует, что они подобны друг другу.
Теперь, учитывая что треугольники ADC и ABC подобны и имеют равные противоположные стороны AD и AC, мы можем сделать вывод, что углы между параллельными сторонами DC и AB также равны (из свойств подобных треугольников). Следовательно, параллелограмм ABCD является четырехугольником, у которого вершинами являются точки, в которых пересекаются медианы.