Докажите, что плоская монохроматическая волна с амплитудой Ey=Eoycos(ωt-kx+φ) соответствует волновому уравнению

Сказочная_Принцесса

69

Конечно! Давайте рассмотрим задачу более подробно.

Возьмем плоскую монохроматическую волну с амплитудой \(E_y = E_{oy} \cos(\omega t - kx + \phi)\), где \(E_{oy}\) - амплитуда, \(\omega\) - круговая частота, \(t\) - время, \(k\) - волновой вектор, \(x\) - координата, и \(\phi\) - начальная фаза.

Для начала, давайте определим волновое уравнение в одномерном случае. Волновое уравнение описывает распространение волнового возмущения в пространстве и времени. В одномерном случае волновое уравнение имеет вид:

\[\frac{{\partial^2 f}}{{\partial t^2}} = v^2 \frac{{\partial^2 f}}{{\partial x^2}}\]

Где \(f\) - это функция, которая описывает волну, а \(v\) - скорость распространения фазы волны.

Теперь, посмотрим на заданную монохроматическую волну. Мы видим, что она зависит от переменных \(t\) и \(x\). Возьмем вторую производную по времени и пространству этой функции:

\[\frac{{\partial^2 E_y}}{{\partial t^2}} = \omega^2 E_{oy} \cos(\omega t - kx + \phi)\]
\[\frac{{\partial^2 E_y}}{{\partial x^2}} = -k^2 E_{oy} \cos(\omega t - kx + \phi)\]

Теперь, учитывая, что \(\frac{{\partial^2 E_y}}{{\partial t^2}} = v^2 \frac{{\partial^2 E_y}}{{\partial x^2}}\), где \(v\) - скорость распространения фазы волны (согласно нашему волновому уравнению), мы можем записать:

\[\omega^2 E_{oy} \cos(\omega t - kx + \phi) = -v^2 k^2 E_{oy} \cos(\omega t - kx + \phi)\]

Заметим, что угловые скорости \(\omega\) в левой и правой частях уравнения совпадают, аналогично для начальных фаз \(\phi\). Учитывая это, мы можем сократить эти факторы и записать:

\[\omega^2 = v^2 k^2\]

Как видно, данное равенство доказывает, что плоская монохроматическая волна \(E_y = E_{oy} \cos(\omega t - kx + \phi)\) соответствует волновому уравнению \(\frac{{\partial^2 E_y}}{{\partial t^2}} = v^2 \frac{{\partial^2 E_y}}{{\partial x^2}}\).

Таким образом, мы сделали вывод, что заданная плоская монохроматическая волна удовлетворяет волновому уравнению, где \(v\) - скорость распространения фазы электромагнитных волн.

Надеюсь, этот детальный и обоснованный ответ помог вам понять связь между плоской монохроматической волной и волновым уравнением.