Какова частота вращения диска, если его линейная скорость в точке А составляет 4,8 м/с, а в точке В - 1,5 м/с? С учетом

Zimniy_Vecher

27

Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать закон сохранения момента импульса. Момент импульса для вращающегося диска определяется формулой:

\[L = I \cdot \omega\]

где \(L\) - момент импульса, \(I\) - момент инерции, а \(\omega\) - угловая скорость.

Мы знаем, что линейная скорость \(v\) в точке А составляет 4,8 м/с, а в точке В - 1,5 м/с. Из этой информации можно сделать следующие выводы:

1) Линейная скорость пропорциональна радиусу \(v \propto r\).
2) Момент импульса \(L\) остается постоянным, так как в задаче не учитывается наличие внешних моментов.

Также в задаче указано, что точка В находится ближе к центру диска, чем точка А, на \(\Delta R = 13\) см (или 0,13 м).

Наша задача - найти частоту вращения диска, то есть угловую скорость \(\omega\).

Давайте приступим к решению.

1) Изначально найдем радиус точки А \(R_A\) и точки В \(R_B\):

\[R_A = R_B + \Delta R\]

\[R_A = R_B + 0,13 \ \text{м}\]

2) Разделим скорость в точке А на скорость в точке В:

\[\frac{v_A}{v_B} = \frac{R_A}{R_B}\]

\[\frac{4,8}{1,5} = \frac{R_B + 0,13}{R_B}\]

3) Решим полученное уравнение относительно \(R_B\):

\[4,8 \cdot R_B = 1,5 \cdot (R_B + 0,13)\]

\[4,8 \cdot R_B = 1,5 \cdot R_B + 1,5 \cdot 0,13\]

\[4,8 \cdot R_B - 1,5 \cdot R_B = 1,5 \cdot 0,13\]

\[3,3 \cdot R_B = 1,5 \cdot 0,13\]

\[R_B = \frac{1,5 \cdot 0,13}{3,3}\]

\[R_B \approx 0,059\ \text{м}\]

4) Теперь найдем радиус точки А:

\[R_A = R_B + 0,13\]

\[R_A = 0,059 + 0,13\]

\[R_A \approx 0,189\ \text{м}\]

5) Наконец, найдем угловую скорость \(\omega\) с использованием формулы:

\[\omega = \frac{v}{R}\]

Для точки А:

\[\omega_A = \frac{4,8}{0,189}\]

\[\omega_A \approx 25,40 \ \text{рад/с}\]

Для точки В:

\[\omega_B = \frac{1,5}{0,059}\]

\[\omega_B \approx 25,42 \ \text{рад/с}\]

Ответ: Частота вращения диска составляет около 25,42 рад/с в точке В и около 25,40 рад/с в точке А.