Докажите, что плоскости АМС и DBM перпендикулярны друг другу при условии, что точка М находится вне плоскости

Чупа

24

Для доказательства перпендикулярности плоскостей АМС и DBM мы будем использовать признак перпендикулярности плоскостей, а также свойства треугольников.

1. Докажем, что плоскость АМС и плоскость DBM пересекаются под прямым углом:

Известно, что точка М находится вне плоскости АВС.
У нас есть равнобедренный треугольник АМС, где MD является медианой. Это означает, что МD является высотой, и лежит в плоскости АМС.
Также у нас есть треугольник АВС, где B is при его основании. М интересно, чтобы оказаться за пределами плоскости АВС, MD должно пересечь прямую AB (обозначим точку пересечения точкой С). Таким образом, МD будет перпендикулярен плоскости АВС.

2. Теперь нам нужно доказать, что плоскость АМС перпендикулярна плоскости DBM:

Для этого воспользуемся признаком перпендикулярности плоскостей, основанным на свойствах их нормалей.

Нормаль к плоскости АМС - это перпендикулярная плоскости АМС прямая, которая проходит через любую ее точку. Для нашего доказательства возьмем нормаль к плоскости АМС и обозначим ее как \(n_1\). Также нормаль к плоскости DBM обозначим как \(n_2\).

Так как AB - прямая в плоскости АВС, MD - медиана треугольника АВС, и нормаль \(n_1\) к плоскости АМС, содержащая точку МD, также пересекаются в точке D, эти прямые должны быть перпендикулярными.

Таким образом, плоскость АМС перпендикулярна плоскости DBM.

Также стоит отметить, что треугольник АВС является прямоугольным, так как медиана BD также является биссектрисой треугольника АВС (пересекает сторону AB пополам) и, следовательно, перпендикулярна стороне AC, деля ее на две равные части.