Докажите, что плоскости bcd являются перпендикулярными на рисунке dabc

Evgeniya

68

Чтобы доказать, что плоскости \(BCD\) перпендикулярны на рисунке \(DABC\), нам необходимо убедиться, что векторы, перпендикулярные этим плоскостям, образуют прямой угол.

Для начала, нам понадобится понять, как заданы плоскости \(BCD\) и \(DABC\). Для этого воспользуемся уравнениями плоскостей.

Плоскость \(BCD\) задается тремя точками: \(B\), \(C\) и \(D\). Предположим, что координаты этих точек на рисунке известны. Для простоты, давайте предположим, что координаты точек \(B\), \(C\) и \(D\) равны \(B(x_1, y_1, z_1)\), \(C(x_2, y_2, z_2)\) и \(D(x_3, y_3, z_3)\) соответственно.

Теперь, возьмем два вектора, лежащих в плоскости \(BCD\), например, \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{CD}\). Вектор \(\overrightarrow{BC}\) можно получить, вычислив разность между координатами точек \(B\) и \(C\), то есть

\[\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{B} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1).\]

Аналогично, вектор \(\overrightarrow{CD}\) можно получить, вычислив разность между координатами точек \(C\) и \(D\), то есть

\[\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{C} = (x_3 - x_2, y_3 - y_2, z_3 - z_2).\]

Теперь, чтобы показать, что векторы \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{CD}\) перпендикулярны, нам нужно убедиться, что их скалярное произведение равно нулю.

Скалярное произведение двух векторов \(\overrightarrow{v} = (a_1, b_1, c_1)\) и \(\overrightarrow{u} = (a_2, b_2, c_2)\) определяется следующим образом:

\[\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u} = a_1 \cdot a_2 + b_1 \cdot b_2 + c_1 \cdot c_2.\]

Применяя это к векторам \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{CD}\), получаем:

\[\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CD} = (x_2 - x_1) \cdot (x_3 - x_2) + (y_2 - y_1) \cdot (y_3 - y_2) + (z_2 - z_1) \cdot (z_3 - z_2).\]

Теперь, если мы докажем, что \(\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CD} = 0\), это будет означать, что векторы \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{CD}\) перпендикулярны, а значит, плоскости \(BCD\) перпендикулярны.

Но как нам показать, что \(\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CD} = 0\)? Для этого мы можем использовать свойство скалярного произведения, что если скалярное произведение равно нулю, то векторы перпендикулярны.

Используя этот факт, мы можем упростить выражение \(\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CD}\) и следующим образом:

\[\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CD} = (x_2 - x_1) \cdot (x_3 - x_2) + (y_2 - y_1) \cdot (y_3 - y_2) + (z_2 - z_1) \cdot (z_3 - z_2).\]

Раскрыв скобки, получаем:

\[\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CD} = (x_2 - x_1)(x_3 - x_2) + (y_2 - y_1)(y_3 - y_2) + (z_2 - z_1)(z_3 - z_2) = \dots\]

(Продолжение решения в следующем сообщении)