Докажите, что произведение длин отрезков MA и MC равно произведению длин отрезков

Суслик

6

Дано: точка M лежит на отрезке AC.

Чтобы доказать, что произведение длин отрезков \(MA \times MC\) равно произведению длин отрезков \(MB \times MD\), где точка B и точка D - произвольные точки на отрезке AC, построим треугольники AMB и CMD.

Треугольники AMB и CMD - подобные (по признаку сходственности треугольников AAA), так как у них соответственные углы равны (по тому же признаку).

По определению подобных треугольников, отношение соответственных сторон равно:

\[
\frac{AM}{CM} = \frac{BM}{DM} = \frac{AB}{CD}
\]

Перепишем это уравнение, чтобы найти связь между \(MA, MC, MB\) и \(MD\):

\[
\frac{MA}{MC} = \frac{MB}{MD}
\]

Умножим обе части уравнения на \(MC \times MD\), получим:

\[
MA \times MD = MB \times MC
\]

Таким образом, мы доказали, что произведение длин отрезков \(MA \times MC\) равно произведению длин отрезков \(MB \times MD\).