Докажите, что середины сторон данного треугольника содержат середины сторон треугольника, образованного серединными

Skvoz_Pyl

21

Для доказательства этого факта, мы воспользуемся следующими обозначениями: пусть \(ABC\) - исходный треугольник, \(P, Q, R\) - середины сторон треугольника \(ABC\), а \(\overline{AB}, \overline{BC}, \overline{CA}\) - его стороны.

Чтобы показать, что середины сторон треугольника \(ABC\) содержат середины сторон треугольника \(PQR\), нам нужно доказать, что эти точки совпадают.

1. Доказательство совпадения точки \(P\) с серединой стороны \(\overline{QR}\):
Чтобы доказать, что точка \(P\) является серединой стороны \(\overline{QR}\), мы должны показать, что \(P\) делит сторону \(\overline{QR}\) пополам и что это именно середина этой стороны.
Точка \(P\) является серединной точкой стороны \(\overline{BC}\) треугольника \(ABC\), а сторона \(\overline{BC}\) также является стороной треугольника \(PQR\). Это означает, что отрезок \(\overline{BC}\) делится точкой \(P\) на две равные части.
Кроме того, факт, что сторона \(\overline{BC}\) является стороной треугольника \(PQR\), гарантирует, что точка \(P\) лежит на границе треугольника \(PQR\). Поскольку отрезок \(\overline{BC}\) делится пополам точкой \(P\) и находится на границе треугольника \(PQR\), это свидетельствует о том, что точка \(P\) является серединой стороны \(\overline{QR}\) треугольника \(PQR\).

2. Аналогичным образом, мы можем доказать, что точка \(Q\) является серединой стороны \(\overline{RP}\) треугольника \(PQR\).

3. Доказательство совпадения точки \(R\) с серединой стороны \(\overline{PQ}\):
Чтобы доказать, что точка \(R\) является серединой стороны \(\overline{PQ}\), мы должны показать, что \(R\) делит сторону \(\overline{PQ}\) пополам и что это именно середина этой стороны.
Точка \(R\) является серединной точкой стороны \(\overline{AC}\) треугольника \(ABC\), а сторона \(\overline{AC}\) также является стороной треугольника \(PQR\). Это означает, что отрезок \(\overline{AC}\) делится точкой \(R\) на две равные части.
Кроме того, факт, что сторона \(\overline{AC}\) является стороной треугольника \(PQR\), гарантирует, что точка \(R\) лежит на границе треугольника \(PQR\). Поскольку отрезок \(\overline{AC}\) делится пополам точкой \(R\) и находится на границе треугольника \(PQR\), это свидетельствует о том, что точка \(R\) является серединой стороны \(\overline{PQ}\) треугольника \(PQR\).

Таким образом, мы доказали, что середины сторон треугольника \(ABC\) содержат середины сторон треугольника \(PQR\).