Докажите, что выражение (5n-7)(6n-1)+57n-7 является кратным при любом натуральном значении

Druzhische

56

Хорошо, давайте докажем, что выражение \((5n-7)(6n-1) + 57n - 7\) является кратным для любого натурального значения переменной \(n\).

Чтобы это сделать, давайте рассмотрим выражение \((5n-7)(6n-1)\). Мы можем раскрыть скобки, применив правило дистрибутивности. Раскроем первую скобку:

\((5n-7)(6n-1) = 5n \cdot 6n - 5n \cdot 1 - 7 \cdot 6n + 7 \cdot 1\)

Упрощаем:

\(30n^2 - 5n - 42n + 7\)

Далее, объединим похожие члены:

\(30n^2 - 47n + 7\)

Теперь добавим к получившемуся выражению \(57n - 7\):

\(30n^2 - 47n + 7 + 57n - 7\)

Сочтем сумму:

\(30n^2 + 10n\)

Теперь мы видим, что полученное выражение состоит из двух частей: \(30n^2\) и \(10n\). Оба этих члена являются произведением переменной \(n\) на целое число. Поэтому мы можем вынести общий множитель \(n\) и записать выражение как:

\(n(30n + 10)\)

Теперь мы видим, что выражение \(n(30n + 10)\) является произведением переменной \(n\) на целое число. Это означает, что указанное выражение будет кратным для любого натурального значения переменной \(n\) (т.е. когда \(n\) принимает любое натуральное значение, результат будет всегда кратным).

Таким образом, мы доказали, что выражение \((5n-7)(6n-1) + 57n - 7\) является кратным для любого натурального значения переменной \(n\).