Докажите неравенство KL+LM+MN> KN (рисунок

Семён

20

Неравенство KL + LM + MN > KN может быть доказано с использованием неравенства треугольника и приложением геометрических знаний.

Давайте построим треугольник KLMN на плоскости. По рисунку, точка K является вершиной треугольника, а точки L, M и N - его сторонами.

Первое, что нам нужно знать, это неравенство треугольника. Оно гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны.

Вернемся к нашему треугольнику KLMN. Рассмотрим стороны KL, LM и KN. Из неравенства треугольника следует, что KL + LM > KM, а также KL + KN > LN.

Теперь прибавим к этим неравенствам еще одно, KL + LM + MN. По свойству неравенства мы можем сложить обе части неравенства KL + LM > KM и KL + KN > LN и получим:
KL + LM + KL + KN > KM + LN.

Сгруппируем одинаковые термы:
2KL + LM + MN > KM + LN.

Теперь мы знаем, что сторона KM треугольника KLMN равна стороне KN + NM. Подставим это равенство в неравенство:
2KL + LM + MN > KN + NM + LN.

По ассоциативному свойству сложения, перепишем правую часть выражения в другом порядке:
2KL + LM + MN > KN + LN + NM.

Заметим, что KN + LN равно длине стороны KL, а значит мы можем заменить KN + LN на KL в неравенстве:
2KL + LM + MN > KL + NM.

Теперь у нас получилось:
2KL + LM + MN > KL + NM.

Упрощая выражение, избавимся от сложения на обеих сторонах:
KL + LM + MN > KM + NM.

Но KM + NM равно длине стороны KN. Подставим это равенство в неравенство:
KL + LM + MN > KN.

Вот и доказано неравенство KL + LM + MN > KN, используя свойство неравенства треугольника и геометрические знания о треугольниках.