Докажите следующие утверждения о двух прямоугольных треугольниках АС и АСМ с общим катетом АС: а) СМ является проекцией

Barsik

32

Для доказательства данных утверждений о треугольниках АС и АСМ с общим катетом АС, рассмотрим следующую схему:

\[
\begin{array}{c}
A \\
| \\
| \\
C — — — — — — — — — — S \\
| \\
| \\
M
\end{array}
\]

а) Докажем, что СМ является проекцией наклонной ВС на плоскость АМС.

Из свойств прямоугольного треугольника известно, что в прямоугольном треугольнике основание высоты делит его на два подобных треугольника. Поэтому треугольник АМС подобен треугольнику АВС.

\[ \angle ACS = \angle AMS \] (признак подобия треугольников)

Рассмотрим треугольники ABM и CMS. Оба треугольника имеют общий угол \( \angle AMB = \angle CMA \) (дополнительный угол), и каждый из них обладает прямым углом: \( \angle BMA = \angle CMB = 90^\circ \). Следовательно, треугольники ABM и CMS являются подобными треугольниками.

\[ \angle MAB = \angle MCВ \] (признак подобия треугольников)

Так как треугольники ABM и CMS подобны, может быть установлено, что сторона ВС является проекцией на плоскость АМС.

б) Теперь докажем, что СВ является проекцией наклонной МС на плоскость АС.

По аналогии с предыдущим пунктом можно сказать, что треугольник АМС подобен треугольнику АВС и СВ является проекцией наклонной МС на плоскость этого треугольника.

Таким образом, утверждения а) и б) доказаны и СМ является проекцией наклонной ВС на плоскость АМС, а СВ является проекцией наклонной МС на плоскость АС.