Если sin x = 3/4, то какое значение имеет cos (2х)?

Звездопад_В_Небе

25

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать тригонометрические тождества и определения. Известно, что sin x = 3/4.

Для начала, найдем значение cos x. Мы можем использовать определение тригонометрической функции cos x в виде отношения прилежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. Поскольку sin x = 3/4, мы знаем, что противолежащая сторона треугольника равна 3, а гипотенуза равна 4. По теореме Пифагора, квадрат смежной стороны будет равен разности квадратов гипотенузы и противолежащей стороны.

Таким образом, для прямоугольного треугольника, в котором sin x = 3/4, мы можем найти cos x, используя следующие шаги:

1. Найдите значение смежной стороны треугольника, используя теорему Пифагора:
\[a^2 = c^2 - b^2 = 4^2 - 3^2 = 16 - 9 = 7 \implies a = \sqrt{7}\]

2. Используйте определение тригонометрической функции cos x:
\[\cos x = \frac{a}{c} = \frac{\sqrt{7}}{4}\]

Теперь мы можем перейти к вычислению cos (2x) при известном значении cos x.

Тригонометрическое тождество cos (2x) = 2*cos^2(x) - 1 позволяет нам выразить cos (2x) через cos x.

1. Возведем значение cos x в квадрат:
\[\cos^2 x = \left(\frac{\sqrt{7}}{4}\right)^2 = \frac{7}{16}\]

2. Умножим полученное значение на 2:
\[2 \cdot \frac{7}{16} = \frac{7}{8}\]

3. Вычтем 1:
\[\cos (2x) = \frac{7}{8} - 1 = -\frac{1}{8}\]

Таким образом, если sin x = 3/4, то значение cos (2x) равно -1/8.