Если sin x = 3/4, то какое значение имеет cos (2х)?

Звездопад_В_Небе

25

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать тригонометрические тождества и определения. Известно, что sin x = 3/4.

Для начала, найдем значение cos x. Мы можем использовать определение тригонометрической функции cos x в виде отношения прилежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. Поскольку sin x = 3/4, мы знаем, что противолежащая сторона треугольника равна 3, а гипотенуза равна 4. По теореме Пифагора, квадрат смежной стороны будет равен разности квадратов гипотенузы и противолежащей стороны.

Таким образом, для прямоугольного треугольника, в котором sin x = 3/4, мы можем найти cos x, используя следующие шаги:

1. Найдите значение смежной стороны треугольника, используя теорему Пифагора:
$$a^2=c^2-b^2=4^2-3^2=16-9=7⟹a=\sqrt{7}$$

2. Используйте определение тригонометрической функции cos x:
$$\cos x=\frac{a}{c}=\frac{\sqrt{7}}{4}$$

Теперь мы можем перейти к вычислению cos (2x) при известном значении cos x.

Тригонометрическое тождество cos (2x) = 2*cos^2(x) - 1 позволяет нам выразить cos (2x) через cos x.

1. Возведем значение cos x в квадрат:
$${\cos }^{2}x={\left(\frac{\sqrt{7}}{4}\right)}^2=\frac{7}{16}$$

2. Умножим полученное значение на 2:
$$2\cdot \frac{7}{16}=\frac{7}{8}$$

3. Вычтем 1:
$$\cos (2x)=\frac{7}{8}-1=-\frac{1}{8}$$

Таким образом, если sin x = 3/4, то значение cos (2x) равно -1/8.