Если в треугольнике ABC проведена высота к стороне BC и равна 20, то каков тангенс угла AB, если длина стороны AB равна

Kroshka

29

Чтобы найти тангенс угла AB в треугольнике ABC, нам понадобится использовать соотношение между тангенсом угла и соответствующими сторонами треугольника.

Дано, что в треугольнике ABC проведена высота к стороне BC и её длина равна 20. Это означает, что AC является основанием высоты, а точка пересечения высоты с основанием обозначается как H.

Также известно, что длина стороны AB равна 4 корень. Давайте обозначим эту сторону как b.

По теореме Пифагора можем записать соотношение для треугольника ABC:

$$A{C}^2=A{H}^2+H{C}^2$$

Так как AH является высотой, а HC - отрезком основания, то мы можем записать:

$$A{C}^2=b^2+(BC-HC{)}^2$$

Мы знаем, что BC равно b + HC, поскольку HC - это отрезок основания, а BC - это длина всей стороны. Подставим это выражение в формулу:

$$A{C}^2=b^2+(b+HC-HC{)}^2$$
$$A{C}^2=b^2+(b^2)$$
$$A{C}^2=2b^2$$

Мы также знаем, что площадь треугольника ABC равна половине произведения боковой стороны на высоту, то есть:

$$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot HC$$
$$S=\frac{1}{2}\cdot 2b\cdot 20$$
$$S=20b$$

С другой стороны, площадь треугольника ABC также может быть найдена с использованием боковой стороны AB и тангенса угла AB:

$$S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot \tan (AB)$$
$$20b=\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{b}\cdot (b+20)\cdot \tan (AB)$$

Теперь у нас есть два уравнения, связывающих площадь треугольника с боковыми сторонами и тангенсом угла AB. Мы можем приравнять их и решить уравнение относительно тангенса:

$$20b=\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{b}\cdot (b+20)\cdot \tan (AB)$$
$$40b=4\sqrt{b}\cdot (b+20)\cdot \tan (AB)$$
$$10=\sqrt{b}\cdot \tan (AB)$$
$$\tan (AB)=\frac{10}{\sqrt{b}}$$

Таким образом, тангенс угла AB в треугольнике ABC равен $\frac{10}{\sqrt{b}}$.