Где на графике существуют точки, в которых касательная параллельна прямой y

Myshka

66

Чтобы определить точки на графике, в которых касательная параллельна прямой \(y=k\), нужно найти значения \(k\), при которых это условие выполняется.

Для этого, давайте сначала вспомним, что касательная к графику функции в точке \(x=a\) является прямой, имеющей такую же наклонную как и касательная в этой точке.

Если касательная параллельна прямой \(y=k\), то наклон (или производная) этой касательной будет равен \(0\) (т.к. у параллельных прямых наклонные равны).

Таким образом, чтобы найти точки на графике, где касательная параллельна прямой \(y=k\), мы должны найти точки, где производная функции равна 0.

Давайте пошагово разберем этот процесс на примере функции \(f(x) = x^2\).

1. Найдем производную функции \(f(x)\):
\[f"(x) = (x^2)" = 2x\].
2. Кажется, у нас нет прямого обобщенного решения для уравнения \(f"(x) = 0\), но это не проблема. Давайте найдем значения \(x\) при которых \(f"(x)=0\) графически. Мы можем построить график функции \(f"(x) = 0\) на основе графика функции \(f(x)\).


На графике выше показан график функции \(f(x) = x^2\) с отмеченными точками, где касательная к графику параллельна прямой \(y = k\), и \(k\) принимает значения \(-4\), \(-2\), \(0\), \(2\), и \(4\).

3. Мы видим, что горизонтальные касательные параллельны прямым \(y = k\) только в точках, где график функции \(f(x) = x^2\) прикосается к \(y = k\). То есть, график функции пересекает прямую \(y = k\) в этих точках.

4. Теперь, используя график, мы можем определить точки, в которых касательная параллельна прямой \(y = k\). Например, при \(k = 4\), график прикосается к \(y = 4\) в двух точках: \((-2,4)\) и \((2,4)\). Аналогично, график функции прикосается к \(y = -4\) в двух точках: \((-2,-4)\) и \((2,-4)\).

Таким образом, на графике функции \(f(x) = x^2\) существуют точки, в которых касательная параллельна прямой \(y = k\) для всех \(k = -4, -2, 0, 2, 4\).