Где находится центр массара системы Земля-Луна, при условии, что радиус Земли равен 6370 км, масса Луны составляет 1/81

Василиса

61

Для решения этой задачи мы можем использовать понятие центра масс. Центр масс системы Земля-Луна представляет точку, относительно которой сумма моментов всех частей системы относительно этой точки равна нулю.

Для нахождения центра масс можно использовать следующий подход. Обозначим массу Земли как \(M_1\), а массу Луны как \(M_2\). Расстояние между Землей и Луной обозначим как \(d\). По условию задачи, \(d\) равно 60 радиусам Земли. Также дано, что масса Луны составляет \(\frac{1}{81}\) массы Земли.

Чтобы найти местоположение центра масс, мы должны найти систему координат, в которой будем проводить расчёты. Удобным выбором будет система координат, в которой одна из планет находится в начале координат.

1. Найдем координаты центра масс \(x_c\) и \(y_c\). Обозначим x-координату центра масс как \(x_c\) и y-координату как \(y_c\).
2. Определим массу системы Земля-Луна. Общая масса системы будет равна сумме масс Земли и Луны, т.е. \(M = M_1 + M_2\).
3. Найдем x-координату центра масс. x-координата центра масс можно выразить с использованием масс и координат Земли и Луны:
\[x_c = \frac{(M_1 \cdot x_1) + (M_2 \cdot x_2)}{M}\]
Где \(x_1 = 0\) - координата Земли, \(x_2 = d\) - координата Луны.
4. Найдем y-координату центра масс. Аналогично, y-координата центра масс определяется как:
\[y_c = \frac{(M_1 \cdot y_1) + (M_2 \cdot y_2)}{M}\]
где \(y_1 = 0\) - координата Земли, \(y_2 = 0\) - координата Луны.
5. Определим значения масс Земли (\(M_1\)) и Луны (\(M_2\)). Дано, что \(\frac{M_2}{M_1} = \frac{1}{81}\). Используя это отношение, можно записать:
\[\frac{M_2}{M_1 + M_2} = \frac{1}{81}\]
Решив это уравнение относительно \(M_2\), мы найдем соотношение масс Земли и Луны.
6. Найденное значение массы Луны (\(M_2\)) можно использовать в формулах для вычисления \(x_c\) и \(y_c\).
7. Выразим \(x_c\) и \(y_c\) в терминах радиуса Земли:
\[x_c = \frac{(M_1 \cdot 0) + (M_2 \cdot 60 \cdot 6370)}{M}\]
\[y_c = \frac{(M_1 \cdot 0) + (M_2 \cdot 0)}{M}\]
8. Вычислим \(x_c\) и \(y_c\) с учетом найденного значения массы Луны.