Где расположен точечный источник света в водоеме глубиной h = 0,4 м, чтобы преломленный луч, выходящий в воздух

Bukashka

65

Для решения задачи с источником света в водоеме, нам нужно определить расположение точечного источника света. Давайте начнем с построения лучей света и определения законов преломления и отражения.

Пусть точечный источник света находится на глубине h в воде. По закону преломления Снеллиуса, отношение синусов углов падения (\(\theta_1\)) и преломления (\(\theta_2\)) равно отношению показателей преломления двух сред:

\[\frac{{\sin(\theta_1)}}{{\sin(\theta_2)}} = \frac{{n_2}}{{n_1}}\]

Где \(n_1\) и \(n_2\) - показатели преломления первой и второй сред соответственно. В нашем случае, \(n_1 = 1\) (воздух) и \(n_2 = \frac{4}{3}\) (вода).

Так как преломленный луч выходит из воды и становится перпендикулярным отраженному лучу, угол преломления \(\theta_2\) равен 90 градусам. Подставив эти значения в уравнение Снеллиуса, мы можем найти угол падения \(\theta_1\):

\[\frac{{\sin(\theta_1)}}{{\sin(90)}} = \frac{{\frac{4}{3}}}{{1}}\]

Так как синус 90 градусов равен 1, уравнение упрощается:

\[\sin(\theta_1) = \frac{4}{3}\]

Теперь мы можем найти сам угол падения, взяв обратный синус от обеих частей уравнения:

\[\theta_1 = \arcsin\left(\frac{4}{3}\right)\]

Аналогично, по закону отражения, угол падения \(\theta_1\) равен углу отражения \(\theta_r\), что означает, что отраженный луч также будет иметь угол \(\theta_r\) относительно нормали к поверхности воды.

Теперь мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник ABC, где сторона AB - это глубина h водоема, сторона BC - это расстояние L от дна водоема до источника света, а угол CAB - это угол падения \(\theta_1\).

Применив теорему синусов к треугольнику ABC, мы можем найти длину отрезка AC:

\[\frac{{h}}{{\sin(\theta_1)}} = \frac{{L}}{{\sin(90)}}\]

Учитывая, что синус 90 градусов равен 1, уравнение упрощается:

\[h = L \cdot \sin(\theta_1)\]

Теперь у нас есть уравнение, которое связывает глубину водоема h и расстояние L от дна до источника света.

Теперь перейдем ко второй части задачи о фонаре и колышке. Нам нужно определить высоту H колышка, чтобы его тень имела длину l1 и какая будет длина тени l2, если колышек перенести на расстояние d.

Пусть уличный фонарь находится на высоте h1. Построим прямоугольный треугольник ABC, где AB - высота H колышка, BC - длина тени, а угол CAB - угол, под которым падает свет на колышек. Угол CAB должен быть таким, чтобы подобный треугольник DEF, где DE - высота H колышка + l1, EF - длина тени l1, был подобен треугольнику ABC.

Из подобия треугольников ABC и DEF мы можем записать отношение соответствующих сторон:

\[\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{DE}}{{EF}}\]

Подставляя значения, получаем:

\[\frac{{H}}{{l1}} = \frac{{H + l1}}{{h1}}\]

Решая это уравнение относительно H, мы можем найти высоту колышка H:

\[H = \frac{{l1 \cdot h1}}{{l1 - h1}}\]

Таким образом, мы можем найти высоту колышка H, чтобы его тень имела длину l1.