Имеется бинарное отношение на множестве М={1,2,3,4}. Определите, является ли данное отношение рефлексивным

Станислав

52

Данное бинарное отношение может быть представлено в виде множества пар, где каждая пара представляет собой элементы из множества М. Рассмотрим данное отношение:

\[ R = \{(1,1), (1,2), (1,3), (2,3), (3,3), (4,1), (4,4)\} \]

1. Рефлексивность:

Отношение \( R \) является рефлексивным, если для каждого элемента \( a \) из множества \( М \) выполняется условие \( (a, a) \in R \). В данном случае, мы видим, что все элементы множества \( М \) присутствуют в отношении \( R \) в виде пары сами с собой. Поэтому отношение \( R \) является рефлексивным.

2. Симметричность:

Отношение \( R \) является симметричным, если для каждой пары "\( a, b \)" из множества \( М \) выполняется условие \( (a, b) \in R \Rightarrow (b, a) \in R \). В случае данного отношения, мы видим, что если пара "\( a, b \)" находится в отношении \( R \), то пара "\( b, a \)" также присутствует в \( R \). Поэтому отношение \( R \) является симметричным.

3. Антисимметричность:

Отношение \( R \) является антисимметричным, если для каждой пары "\( a, b \)" из множества \( М \) выполняется условие \((a, b) \in R \land (b, a) \in R \Rightarrow a = b \). В данном случае, мы видим, что существуют пары "\( 1, 2 \)" и "\( 2, 1 \)" в отношении \( R \), при этом \( 1 \neq 2 \). Поэтому отношение \( R \) не является антисимметричным.

4. Транзитивность:

Отношение \( R \) является транзитивным, если для каждой тройки элементов "\( a, b, c \)" из множества \( М \), для которых выполняются условия \( (a, b) \in R \) и \( (b, c) \in R \), также выполняется условие \( (a, c) \in R \). В случае данного отношения, мы видим, что для всех троек элементов \( (a, b), (b, c) \), где \( a, b, c \) - элементы множества \( M \), условие \( (a, c) \in R \) также выполняется. Поэтому отношение \( R \) является транзитивным.

Теперь рассмотрим дополнительные характеристики данного отношения:

- Область определения (\( \delta R \)) отношения \( R \) - это множество элементов, которые могут выступать в качестве первого компонента в парах \( (a, b) \), принадлежащих отношению \( R \). В данном случае, \( \delta R = \{1, 2, 3, 4\} \).

- Область значений (\( \rho R \)) отношения \( R \) - это множество элементов, которые могут выступать в качестве второго компонента в парах \( (a, b) \), принадлежащих отношению \( R \). В данном случае, \( \rho R = \{1, 2, 3, 4\} \).

- Обратное отношение (\( R^{-1} \)) отношения \( R \) - это отношение, в котором элементы пар переставлены местами. В данном случае, \( R^{-1} = \{(1, 1), (2, 1), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (1, 4), (4, 4)\} \).

- Пересечение (\( R \cap R^{-1} \)) отношений \( R \) и \( R^{-1} \) - это отношение, содержащее только такие пары, которые присутствуют в обоих отношениях \( R \) и \( R^{-1} \). В данном случае, \( R \cap R^{-1} = \{(1, 1), (3, 3), (4, 4)\} \).

- Объединение (\( R \cup R^{-1} \)) отношений \( R \) и \( R^{-1} \) - это отношение, содержащее все пары из обоих отношений \( R \) и \( R^{-1} \). В данном случае, \( R \cup R^{-1} = \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 4)\} \).

Итак, в ответ на данную задачу, отношение \( R \) является рефлексивным, симметричным, транзитивным, но не является антисимметричным. Область определения \( \delta R = \{1, 2, 3, 4\} \), область значений \( \rho R = \{1, 2, 3, 4\} \). Обратное отношение \( R^{-1} = \{(1, 1), (2, 1), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (1, 4), (4, 4)\} \). Пересечение отношений \( R \) и \( R^{-1} \) равно \( \{(1, 1), (3, 3), (4, 4)\} \), а объединение отношений \( R \) и \( R^{-1} \) равно \( \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 4)\} \).