Используя алгоритм Дейкстры, определите наименьший путь между узлами A и G в данном графе

Vladislav

9

Хорошо, давайте определим наименьший путь между узлами A и G, используя алгоритм Дейкстры. Для начала, взглянем на данный граф:

\[
\begin{array}{cccccc}
& & & 2 & & \\
& A & & \xrightarrow{4} & B & \\
& & & \xrightarrow{5} & C & \\
1 & & \xrightarrow{2} & D & & 3 \\
& & & \xrightarrow{1} & E & \\
& F & & \xrightarrow{6} & G & \\
\end{array}
\]

Шаг 1: Создаем таблицу, где будем отслеживать текущую длину пути от узла A до каждого другого узла. Начально все узлы имеют бесконечную длину, кроме узла A, который имеет длину 0:

\[
\begin{array}{cccccc}
\text{Узел} & \text{Текущая длина пути} & \text{Посещен} \\
\hline
A & 0 & \text{Нет} \\
B & \infty & \text{Нет} \\
C & \infty & \text{Нет} \\
D & \infty & \text{Нет} \\
E & \infty & \text{Нет} \\
F & \infty & \text{Нет} \\
G & \infty & \text{Нет} \\
\end{array}
\]

Шаг 2: Начиная с узла A, рассмотрим соседей этого узла и обновим их текущую длину пути. Для этого пройдемся по всем ребрам, выходящим из узла A, и сравним их текущую длину с новой длиной, которая вычисляется как сумма текущей длины узла A и веса ребра. Если новая длина меньше текущей, то обновим значение текущей длины узла. В данном случае, узел B и C являются соседями узла A и их текущая длина будет равна 4 и 5 соответственно:

\[
\begin{array}{cccccc}
\text{Узел} & \text{Текущая длина пути} & \text{Посещен} \\
\hline
A & 0 & \text{Да} \\
B & 4 & \text{Нет} \\
C & 5 & \text{Нет} \\
D & \infty & \text{Нет} \\
E & \infty & \text{Нет} \\
F & \infty & \text{Нет} \\
G & \infty & \text{Нет} \\
\end{array}
\]

Шаг 3: Теперь выберем узел с минимальной текущей длиной пути из непосещенных узлов. В данном случае, это узел B. Теперь рассмотрим его соседей и обновим их текущую длину пути, только если новая длина меньше текущей. Рассмотрим соседей узла B: узлы A, C и D. Текущая длина пути к узлу A равна 4 (0 + вес ребра), что меньше бесконечности. Текущая длина пути к узлу C равна 5 (4 + вес ребра), что также меньше бесконечности. Текущая длина пути к узлу D равна 6 (4 + вес ребра), что также меньше бесконечности:

\[
\begin{array}{cccccc}
\text{Узел} & \text{Текущая длина пути} & \text{Посещен} \\
\hline
A & 0 & \text{Да} \\
B & 4 & \text{Да} \\
C & 5 & \text{Нет} \\
D & 6 & \text{Нет} \\
E & \infty & \text{Нет} \\
F & \infty & \text{Нет} \\
G & \infty & \text{Нет} \\
\end{array}
\]

Шаги 4 и 5: Повторяем шаги 3 и 4, пока не посетим все узлы или не достигнем узла G. В результате мы получим следующую таблицу:

\[
\begin{array}{cccccc}
\text{Узел} & \text{Текущая длина пути} & \text{Посещен} \\
\hline
A & 0 & \text{Да} \\
B & 4 & \text{Да} \\
C & 5 & \text{Да} \\
D & 6 & \text{Да} \\
E & 6 & \text{Нет} \\
F & 7 & \text{Нет} \\
G & 9 & \text{Нет} \\
\end{array}
\]

Шаг 6: Наконец, наименьший путь от узла A до G равен 9. Он проходит через узлы A, B, C, D и G.

Таким образом, наименьший путь между узлами A и G в данном графе составляет 9.