Используя таблицы истинности, определите, какие из представленных формул являются тождественно истинными

Plyushka

9

Хорошо, давайте решим задачу по определению, какие из представленных формул являются тождественно истинными или тождественно ложными, используя таблицы истинности.

Представленные формулы:
1. \( A \rightarrow (B \vee C) \)
2. \( (A \wedge B) \rightarrow C \)
3. \( \neg (A \wedge B) \)
4. \( (A \vee B) \rightarrow \neg C \)

Для решения задачи, мы составим таблицы истинности для каждой формулы, где будем рассматривать все возможные комбинации значений переменных A, B и C. Здесь A, B и C могут быть истиной (1) или ложью (0).

Таблица истинности для формулы 1:
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
A & B & C & A \rightarrow (B \vee C) \\
\hline
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 1 \\
\hline
\end{array}
\]

Таблица истинности для формулы 2:
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
A & B & C & (A \wedge B) \rightarrow C \\
\hline
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 1 \\
\hline
\end{array}
\]

Таблица истинности для формулы 3:
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
A & B & \neg (A \wedge B) \\
\hline
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0 \\
\hline
\end{array}
\]

Таблица истинности для формулы 4:
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
A & B & C & (A \vee B) \rightarrow \neg C \\
\hline
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 \\
\hline
\end{array}
\]

Теперь, посмотрев на таблицы истинности для каждой формулы, мы можем сделать следующие выводы:

- Формула 1 является тождественно истинной, так как она принимает значение 1 для всех возможных комбинаций значений переменных.
- Формула 2 является тождественно истинной, так как она принимает значение 1 для всех возможных комбинаций значений переменных.
- Формула 3 не является тождественно истинной, так как она принимает значение 0 для некоторых комбинаций значений переменных.
- Формула 4 является тождественно ложной, так как она принимает значение 0 для всех возможных комбинаций значений переменных.

Таким образом, формулы 1 и 2 являются тождественно истинными, формула 3 не является тождественно истинной, а формула 4 является тождественно ложной.