IV. Independent work Level of difficulty I Variant 1 1. Given: UAB: UAC = 3:2, ZA = 50° (fig. 8.64). Find

Markiz

48

Для решения этой задачи нам потребуется использовать основные свойства треугольников и окружностей.

1. Найдем ZB:
Известно, что UAB:UAC = 3:2. Это означает, что отношение сторон треугольника UAB к сторонам треугольника UAC равно 3:2. Зная, что ZA = 50°, мы можем расположить эти отношения на рисунке:

\[
\angle UAB = 3x, \quad \angle UAC = 2x
\]

Так как сумма углов треугольника равна 180°, то

\[
50° + 3x + 2x = 180°
\]

Решим это уравнение:

\[
5x = 130°
\]
\[
x = 26°
\]

Теперь мы можем найти ZB:

\[
ZB = \angle UAB + \angle UAC = 3x + 2x = 5x = 5 \cdot 26° = 130°
\]

2. Найдем длину отрезка CD:
Дано, что AE = 4 см, BE = 9 см, и длина CE в 4 раза больше длины BE. Пусть длина CE равна x см. Тогда

\[
CE = 4 \cdot BE = 4 \cdot 9 \, см = 36 \, см
\]

Теперь мы можем использовать теорему пересекающихся хорд:

\[
AE \cdot BE = CE \cdot DE
\]

Подставим известные значения:

\[
4 \cdot 9 = 36 \cdot DE
\]

\[
DE = \frac{4 \cdot 9}{36} = 1 \, см
\]

Таким образом, длина отрезка CD равна 1 см.

3. Найдем ZBOC:
Согласно теореме про касательные, угол между хордой и касательной, проведенной к одному из концов хорды, равен половине угла над дугой:

\[
ZBOC = \frac{1}{2} \cdot ZB = \frac{1}{2} \cdot 130° = 65°
\]

Таким образом, мы нашли все искомые значения: ZB = 130°, CD = 1 см и ZBOC = 65°.