Измерьте площадь круга, который находится внутри равнобедренного треугольника. У треугольника основание равно 30

Путник_С_Камнем_9049

2

Для решения данной задачи, нам потребуется знание некоторых свойств равнобедренных треугольников и кругов.

В равнобедренном треугольнике две стороны равны: основание и боковая сторона. Также в равнобедренном треугольнике высота, проведенная из вершины, перпендикулярна основанию. Обозначим высоту как \(h\).

Для начала выразим высоту \(h\) через данные задачи. Заметим, что высота и радиус вписанного круга в равнобедренном треугольнике являются одной и той же линией.

Так как высота перпендикулярна основанию, она разделяет треугольник на два прямоугольных треугольника с гипотенузами, равными боковой стороне.

Рассмотрим одну половину равнобедренного треугольника. Запишем уравнение теоремы Пифагора для него:

\((\frac{1}{2} \times 30)^2 + h^2 = a^2\),

где \(a\) – радиус вписанного круга.

Решим это уравнение относительно высоты \(h\):

\((\frac{1}{2} \times 30)^2 + h^2 = a^2\),

\(225 + h^2 = a^2\),

\(h^2 = a^2 - 225\),

\(h = \sqrt{a^2 - 225}\).

Теперь мы можем приступить к решению задачи. Чтобы найти площадь круга, мы должны знать его радиус. Зная радиус, мы можем использовать формулу для площади круга: \(S = \pi r^2\), где \(S\) – площадь круга, \(r\) – радиус.

Итак, радиус круга в нашей задаче равен высоте треугольника \(h\). Подставим значение радиуса в формулу площади круга:

\(S = \pi \times h^2\),

\(S = \pi \times (\sqrt{a^2 - 225})^2\),

\(S = \pi \times (a^2 - 225)\).

Таким образом, площадь круга, находящегося внутри равнобедренного треугольника с основанием \(30\) см, равна \(\pi \times (a^2 - 225)\), где \(a\) – радиус круга.

В данном решении мы использовали некоторые свойства равнобедренных треугольников и теорему Пифагора, чтобы выразить высоту треугольника через радиус круга. Затем мы воспользовались формулой площади круга, чтобы найти площадь вписанного круга.