Известно, что на окружности радиусом 10 выбраны три точки A, B и C. Требуется найти длину хорды AB и значение синуса

Veterok

52

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой о синусах. Обозначим длину хорды AB как x, а длину хорды AC как y.

Теорема о синусах гласит, что отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего угла постоянно для данного треугольника:

\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\]

В нашем случае, обозначим угол между хордами AB и AC как угол BAC, угол между хордами AB и BC как угол ABC и угол между хордами AC и BC как угол ACB.

Из условия задачи у нас уже есть значение синуса угла ACB, равное 1/3. Обозначим его как \(\sin ACB\):

\(\sin ACB = \frac{1}{3}\)

Теперь, согласно теореме о синусах, мы можем записать следующее соотношение отношения длин сторон треугольника:

\(\frac{x}{\sin ABC} = \frac{y}{\sin ACB}\)

Подставим известные значения:

\(\frac{x}{\sin ABC} = \frac{y}{\frac{1}{3}}\)

Теперь мы можем выразить \(\sin ABC\) через неизвестную длину хорды AB:

\(\sin ABC = \frac{y}{x} \cdot \frac{1}{3}\) (1)

Также, с помощью теоремы Пифагора, можем выразить длину хорды AB через радиус окружности и длину хорды AC:

\(AB^2 = AC^2 - BC^2\) (2)

Теперь заменим значения хорды AC и угла ACB:

\(y^2 = 10^2 - (10 - x)^2\) (3)

Для нахождения длины хорды AB осталось только решить данное уравнение (3).