Как изменился определитель квадратной матрицы А третьего порядка, если все ее элементы были умножены на 2? Варианты

Поющий_Хомяк_6351

36

Для решения первой задачи давайте вспомним, как вычисляется определитель матрицы. Определитель квадратной матрицы третьего порядка составляется из суммы произведений элементов, взятых с определенными знаками. Если все элементы матрицы умножаются на 2, то новая матрица будет иметь элементы, в два раза больше исходных.

Давайте рассмотрим пример матрицы А. Пусть она имеет вид:

\[A = \begin{pmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i \\
\end{pmatrix}\]

Если все элементы этой матрицы умножить на 2, то мы получим новую матрицу B:

\[B = \begin{pmatrix}
2a & 2b & 2c \\
2d & 2e & 2f \\
2g & 2h & 2i \\
\end{pmatrix}\]

Теперь рассчитаем определитель исходной матрицы А и новой матрицы B. Пусть определитель матрицы А обозначим как det(A), а определитель матрицы B — как det(B).

Мы знаем, что определитель матрицы можно выразить следующим образом:

\[det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)\]

Подставим значения из матрицы А в это выражение:

\[det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)\]

Теперь рассчитаем определитель новой матрицы B:

\[det(B) = 2a(2e * 2i - 2f * 2h) - 2b(2d * 2i - 2f * 2g) + 2c(2d * 2h - 2e * 2g)\]

Упростим это выражение:

\[det(B) = 2^3(a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg))\]

Мы видим, что определитель новой матрицы B равен определителю исходной матрицы А, умноженному на 8 (\(2^3 = 8\)).

Ответ для первой задачи - б) увеличился в 8 раз.

Теперь перейдем ко второй задаче. Если вторую строку матрицы А поделить на 2, то все элементы этой строки будут уменьшены в 2 раза.

Пусть матрица А имеет вид:

\[A = \begin{pmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i \\
\end{pmatrix}\]

Если мы поделим вторую строку матрицы А на 2, то получим новую матрицу B:

\[B = \begin{pmatrix}
a & b & c \\
\frac{d}{2} & \frac{e}{2} & \frac{f}{2} \\
g & h & i \\
\end{pmatrix}\]

Рассчитаем определители А и В:

\[det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)\]

\[det(B) = a\left(\frac{e}{2}i - \frac{f}{2}h\right) - b\left(\frac{d}{2}i - \frac{f}{2}g\right) + c\left(\frac{d}{2}h - \frac{e}{2}g\right)\]

Упростим это выражение:

\[det(B) = \frac{1}{2}(a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg))\]

Мы видим, что определитель новой матрицы B равен половине определителя исходной матрицы А.

Ответ для второй задачи - г) уменьшился в 2 раза.

Я надеюсь, что объяснение было понятным для вас. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!