Как изменится первая космическая скорость при уменьшении массы планеты в 4 раза?

Звездопад

26

Для начала, давайте вспомним, что такое первая космическая скорость. Это скорость, которую должен иметь космический объект, чтобы преодолеть гравитационное притяжение планеты и попасть на орбиту вокруг нее. Формула для первой космической скорости выглядит следующим образом:

\[v = \sqrt{\frac{{2GM}}{{R}}}\]

где:
- \(v\) - первая космическая скорость,
- \(G\) - гравитационная постоянная,
- \(M\) - масса планеты,
- \(R\) - радиус планеты.

Теперь, когда у нас есть формула для первой космической скорости, мы можем рассчитать, как она изменится при уменьшении массы планеты в 4 раза.

Обозначим массу планеты до изменения как \(M_1\), а массу планеты после изменения как \(M_2\). Также обозначим первую космическую скорость до изменения как \(v_1\), а после изменения как \(v_2\).

Мы знаем, что новая масса планеты (\(M_2\)) будет в 4 раза меньше предыдущей массы (\(M_1\)):

\[M_2 = \frac{M_1}{4}\]

Теперь мы можем записать формулу для первой космической скорости до и после изменения:

\[v_1 = \sqrt{\frac{{2GM_1}}{{R}}}\]
\[v_2 = \sqrt{\frac{{2GM_2}}{{R}}}\]

Чтобы выразить \(v_2\) через \(v_1\), мы можем подставить \(M_2\) в формулу для \(v_2\):

\[v_2 = \sqrt{\frac{{2G\left(\frac{{M_1}}{{4}}\right)}}{{R}}} = \sqrt{\frac{{2GM_1}}{{4R}}} = \sqrt{\frac{{v_1^2}}{{4}}}\]

Сокращая это уравнение, получим:

\[v_2 = \frac{{v_1}}{2}\]

Таким образом, первая космическая скорость после уменьшения массы планеты в 4 раза будет в два раза меньше первой космической скорости до этого изменения.

Надеюсь, это пошаговое решение помогло вам понять, как изменится первая космическая скорость при уменьшении массы планеты в 4 раза.