Как изменится спрос на товар у индивида при увеличении его бюджета на I=18Py, если функция полезности задана

Robert

29

Для того чтобы ответить на этот вопрос, мы должны использовать инструменты и понятия, связанные с теорией потребительского выбора и функцией полезности. Давайте пошагово рассмотрим эту задачу.

1. Дано:
- Функция полезности задана как \(u = x^2y\), где \(x\) - количество потребляемого товара \(X\), а \(y\) - количество потребляемого товара \(Y\).
- Бюджет индивида увеличился на \(I = 18Py\), где \(P\) - цена товара.

2. Первым шагом мы должны выяснить, какие товары являются нормальными и какие - неполными. Понимание этого поможет нам понять, как изменится спрос на товар в результате увеличения бюджета.

3. Для выяснения, какой товар является нормальным, мы должны рассмотреть вторую производную функции полезности по одному из товаров. Если вторая производная больше нуля, то товар является нормальным; если меньше нуля - то товар является неполным.

Возьмем вторую производную функции полезности по \(x\):
\[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 2 \]
Полученное значение равно 2, что больше нуля. Следовательно, товар \(X\) является нормальным.

4. После установления типа товара (нормальный или неполный), мы можем определить, как изменится спрос на товар в результате увеличения бюджета.

Для нормальных товаров изменение спроса будет зависеть от дохода и эластичности спроса. Для неполных товаров изменение спроса будет зависеть только от дохода.

В данном случае товар \(X\) является нормальным. Поэтому изменение спроса на товар будет зависеть от дохода и эластичности спроса на него.

5. Чтобы вычислить изменение спроса, мы должны использовать формулу Маршалла-Хикса:
\[ \Delta x = \frac{{I \cdot \varepsilon_x}}{{Px}} \]
где:
\(\Delta x\) - изменение количества потребляемого товара \(X\),
\(I\) - изменение дохода,
\(\varepsilon_x\) - эластичность спроса на товар \(X\),
\(P\) - цена товара \(X\),
\(Px\) - расходы на товар \(X\).

6. Для того чтобы вычислить эластичность спроса \(\varepsilon_x\), мы должны использовать следующую формулу:
\[ \varepsilon_x = \frac{{\partial x}}{{\partial I}} \cdot \frac{{I}}{{x}} \]
где:
\(\frac{{\partial x}}{{\partial I}}\) - производная функции спроса по доходу.

7. Чтобы получить производную по доходу \(\frac{{\partial x}}{{\partial I}}\), мы должны продифференцировать функцию спроса \(\frac{{x}}{{I}}\) по доходу \(I\). Получаем:
\[ \frac{{\partial x}}{{\partial I}} = \frac{{1}}{{I}} \]
Подставляем это значение в формулу для эластичности спроса:
\[ \varepsilon_x = \frac{{1}}{{I}} \cdot \frac{{I}}{{x}} = \frac{{1}}{{x}} \]

8. Теперь, когда у нас есть значение эластичности, мы можем вычислить изменение спроса:
\[ \Delta x = \frac{{I \cdot \varepsilon_x}}{{Px}} = \frac{{I \cdot \frac{{1}}{{x}}}}{{Px}} = \frac{{I}}{{Px \cdot x}} \]

Таким образом, изменение спроса на товар \(X\) при увеличении дохода на \(18Py\) будет равно \(\frac{{18Py}}{{Px \cdot x}}\).

Обратите внимание, что в данном ответе мы учли, что товар \(X\) является нормальным и использовали соответствующие формулы для вычисления изменения спроса. Надеюсь, это пошаговое объяснение помогло вам понять, как изменится спрос при увеличении бюджета.