Как изменится ускорение свободного падения на поверхности планеты при утолщении плотности в 3 раза и сокращении радиуса

Smeshannaya_Salat

26

Ускорение свободного падения \(g\) на поверхности планеты зависит от массы планеты \(M\) и радиуса планеты \(R\). Мы можем использовать формулу ускорения свободного падения:

\[g = \frac{{G \cdot M}}{{R^2}}\]

где \(G\) - гравитационная постоянная.

В данной задаче, нам известно, что плотность планеты может быть выражена как:

\[\rho = \frac{{M}}{{V}}\]

где \(\rho\) - плотность, \(M\) - масса и \(V\) - объём планеты. Объём планеты можно выразить через радиус планеты:

\[V = \frac{{4}}{{3}} \pi R^3\]

Теперь мы можем выразить массу через плотность и объём:

\[M = \rho \cdot V = \rho \cdot \frac{{4}}{{3}} \pi R^3\]

Исходя из условия задачи, плотность планеты утолщается в 3 раза (\(\rho" = 3 \cdot \rho\)) и радиус планеты сокращается в 3 раза (\(R" = \frac{{R}}{{3}}\)).

Найдем новое ускорение свободного падения \(g"\) на поверхности планеты.

Для начала, найдем новую массу планеты \(M"\):

\[M" = \rho" \cdot \frac{{4}}{{3}} \pi (R")^3\]

Теперь найдем новое ускорение свободного падения \(g"\) на поверхности планеты:

\[g" = \frac{{G \cdot M"}}{{(R")^2}}\]

Подставим значения массы и радиуса:

\[g" = \frac{{G \cdot \left(\rho" \cdot \frac{{4}}{{3}} \pi (R")^3\right)}}{{(R")^2}}\]

Упростим выражение:

\[g" = \frac{{G \cdot \left(3 \cdot \rho \cdot \frac{{4}}{{3}} \pi \left(\frac{{R}}{{3}}\right)^3\right)}}{{\left(\frac{{R}}{{3}}\right)^2}}\]

\[g" = \frac{{G \cdot 3 \cdot \rho \cdot \frac{{4}}{{3}} \pi \cdot \frac{{R^3}}{{27}}}}{{\frac{{R^2}}{{9}}}}\]

\[g" = \frac{{G \cdot 4 \cdot \pi \cdot \rho \cdot R}}{{9}}\]

Таким образом, ускорение свободного падения на поверхности планеты изменится пропорционально радиусу и плотности:

\[g" = \frac{{4}}{{9}} g\]

То есть, ускорение свободного падения на поверхности планеты будет уменьшено в 4/9 раза при утолщении плотности в 3 раза и сокращении радиуса в 3 раза.