Как изменится временной интервал, когда заряженная частица обращается в циклотроне, если её скорость увеличивается

Boris

29

Чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно понять, как связаны скорость и временной интервал в циклотроне. В циклотроне заряженная частица движется вокруг окружности с постоянной скоростью и постоянным радиусом.

Скорость частицы в циклотроне можно выразить через радиус окружности и временной интервал, которое требуется частице для преодоления окружности. Скорость можно описать как отношение длины окружности к времени: \(v = \frac{{2\pi r}}{{t}}\), где \(v\) - скорость, \(r\) - радиус окружности, а \(t\) - временной интервал.

Если скорость частицы увеличивается в 8 раз, то новая скорость будет \(8v\). Для того, чтобы найти новый временной интервал, мы можем использовать ту же формулу и подставить новую скорость: \(8v = \frac{{2\pi r"}}{{t"}}\), где \(r"\) и \(t"\) - новые значения радиуса и временного интервала соответственно.

Чтобы найти отношение временных интервалов, нам нужно поделить первое уравнение на второе:
\(\frac{{v}}{{8v}} = \frac{{\frac{{2\pi r}}{{t}}}}{{\frac{{2\pi r"}}{{t"}}}}\)

После упрощения получим:
\(\frac{{1}}{{8}} = \frac{{r" \cdot t}}{{r \cdot t"}}\)

Чтобы избавиться от неизвестных, нам нужна ещё одна информация. Рассмотрим случай, когда скорость частицы нерелятивистская, то есть скорость значительно меньше скорости света. В этом случае можно предположить, что радиус окружности остаётся постоянным — частица продолжает обращаться по той же окружности.

Таким образом, если радиус окружности не меняется, то \(r" = r\). Подставим это в уравнение и решим его относительно \(t"\):
\(\frac{{1}}{{8}} = \frac{{r" \cdot t}}{{r \cdot t"}} \Rightarrow
\frac{{1}}{{8}} = \frac{{r \cdot t}}{{r \cdot t"}}\)

Обратим внимание, что радиус \(r\) исключается из уравнения, и получаем:

\(\frac{{1}}{{8}} = \frac{{t}}{{t"}}\)

Теперь осталось найти значение отношения временных интервалов. Для этого нам понадобится решить уравнение относительно \(t"\):

\(\frac{{1}}{{8}} = \frac{{t}}{{t"}} \Rightarrow
t" = 8 \cdot t\)

Таким образом, временной интервал, когда заряженная частица обращается в циклотроне, увеличится в 8 раз, если её скорость увеличивается в 8 раз. Это верно в случае нерелятивистской скорости частицы и постоянного радиуса окружности.