Как изменяется скорость материальной точки в зависимости от времени при выполнении закона движения x

Viktor

23

Для решения данной задачи, мы можем воспользоваться формулой для нахождения скорости \(v\) материальной точки при заданном законе движения \(x(t)\).

Дано: \(x = 0,4 \sin (2t - \frac{1}{2})\)

Скорость можно найти, взяв производную по времени от функции \(x(t)\).
Дифференцируем функцию \(x(t)\):

\[\frac{dx}{dt} = v = \frac{d}{dt}(0,4 \sin (2t - \frac{1}{2}))\]

Для нахождения производной функции синуса по времени, воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (производная композиции):

\[\frac{d}{dt}\sin(u(t)) = \cos(u(t)) \cdot \frac{du}{dt}\]

В данном случае, \(u(t) = 2t - \frac{1}{2}\), а \(\frac{du}{dt} = 2\).

Производная функции \(x(t)\) теперь выглядит следующим образом:

\[v = \frac{d}{dt}(0,4 \sin (2t - \frac{1}{2})) = 0,4 \cos (2t - \frac{1}{2}) \cdot \frac{d}{dt}(2t - \frac{1}{2})\]

\[\Rightarrow v = 0,4 \cos (2t - \frac{1}{2}) \cdot 2\]

\[\Rightarrow v = 0,8 \cos (2t - \frac{1}{2})\]

Теперь мы знаем, как изменяется скорость материальной точки в зависимости от времени. Чтобы определить скорость в момент времени \(t_1 = 2\) секунды, подставим значение \(t = 2\) в найденное выражение для скорости:

\[v_1 = 0,8 \cos (2 \cdot 2 - \frac{1}{2})\]

\[v_1 = 0,8 \cos (4 - \frac{1}{2})\]

\[v_1 = 0,8 \cos (3,5)\]

Чтобы проиллюстрировать графическую зависимость скорости точки от времени, построим график функции \(v(t) = 0,8 \cos (2t - \frac{1}{2})\). Воспользуемся графическим редактором для построения графика.

[Тут может быть вставлена иллюстрация с графиком]

На графике мы видим, что скорость точки изменяется гармонически в соответствии с функцией косинуса. В момент времени \(t_1 = 2\) секунды мы можем определить скорость точки \(v_1\) на оси ординат и найти ее численное значение.

Таким образом, скорость точки в момент времени \(t_1 = 2\) секунды равна \(v_1 = 0,8 \cos (3,5)\).