Как меняются составляющие скорости и ускорения частицы по оси X во времени, если частица осуществляет гармонические

Bulka

3

Для решения этой задачи нам необходимо взять первую производную \(x\) по времени, чтобы найти скорость частицы, и вторую производную \(x\) по времени, чтобы найти ускорение частицы.

1. Начнём с заданного закона движения: \(x = 24 \cos\left(\frac{\pi}{12}t\right)\).

Для нахождения скорости, возьмем производную данного выражения по \(t\):

\[
v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}\left[24 \cos\left(\frac{\pi}{12}t\right)\right]
\]

Используя правило дифференцирования для функции \(\cos(at)\) (где \(a\) - это некоторая константа), получаем:

\[
v = -24 \cdot \frac{\pi}{12} \sin\left(\frac{\pi}{12}t\right) = -2\pi \sin\left(\frac{\pi}{12}t\right)
\]

2. Теперь найдем ускорение, взяв вторую производную \(x\) по \(t\):

\[
a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}\left[-2\pi \sin\left(\frac{\pi}{12}t\right)\right]
\]

Снова применяя правило дифференцирования для функции \(\sin(at)\), получаем:

\[
a = -2\pi \cdot \frac{\pi}{12} \cos\left(\frac{\pi}{12}t\right) = -\frac{\pi^2}{6} \cos\left(\frac{\pi}{12}t\right)
\]

Таким образом, составляющие скорости и ускорения частицы по оси X задаются следующими выражениями:

Скорость: \(v = -2\pi \sin\left(\frac{\pi}{12}t\right)\)

Ускорение: \(a = -\frac{\pi^2}{6} \cos\left(\frac{\pi}{12}t\right)\)

Эти формулы позволяют рассчитать скорость и ускорение частицы в любой момент времени \(t\).