Как можно построить эпюр продольных сил и нормальных напряжений для бруса вдоль его длины? Как определить перемещение

Valentin

64

Для построения эпюры продольных сил и нормальных напряжений бруса вдоль его длины, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти реакции опор на брусе. Для этого воспользуемся уравновешенностью моментов и сил в вертикальном направлении:


Сумма моментов относительно любой точки на брусе равна нулю. Так как мы рассматриваем моменты вдоль продольной оси, мы можем выбрать точку, в которой моменты фактически не будут учитываться. Давайте выберем точку на левом конце бруса.


Момент со стороны силы F равен 0 (так как расстояние от точки до силы F равно 0).


Момент со стороны равномерно распределенной нагрузки q равен (q * L^2)/8, где L - длина бруса.


2. Найти продольные силы в различных сечениях бруса. Применяя уравновешенность сил вдоль бруса, можно найти продольную силу в любом сечении. В нашем случае, продольная сила будет состоять из вкладов от реакций опор, силы F и равномерно распределенной нагрузки q.


Продольная сила в любом сечении x от левого конца бруса может быть определена следующей формулой:


N(x) = -M(x)/x - F - (q * x)/2


Где M(x) - момент в сечении x, x - расстояние от левого конца бруса до сечения x, F - сила, действующая на брус, q - равномерно распределенная нагрузка.


Знак "-" означает, что продольное напряжение будет сжимающим (направленным внутрь бруса), а знак "+" означает, что продольное напряжение будет растягивающим (направленным наружу бруса).


3. Найти нормальные напряжения в различных сечениях бруса. Для этого нормальные напряжения связаны с продольными силами следующим образом:


σ(x) = N(x) / A(x)


Где σ(x) - нормальное напряжение в сечении x, A(x) - площадь поперечного сечения бруса в точке x.


4. Построить эпюру продольных сил и нормальных напряжений. Для построения эпюры продольных сил нужно откладывать значения продольных сил N(x) в зависимости от расстояния x от левого конца бруса. А для эпюры нормальных напряжений нужно откладывать значения нормальных напряжений σ(x) в зависимости от расстояния x от левого конца бруса.


Теперь, перейдем к второй части задачи - определению перемещения свободного конца бруса при заданных значениях.


1. Найдем суммарную продольную силу, действующую на брус в сечении бруса x:


N(x) = -M(x)/x - F - (q * x)/2


2. Найдем момент в сечении x:


M(x) = -F * (L - x) + (q * x * x) / 2


3. Найдем перемещение свободного конца бруса. Для этого воспользуемся уравнением согласования моментов:


Моменты, которые действуют на свободное сечение, должны быть равны нулю.


Момент от реакции опоры равен 0, так как выбранный нами левый конец не испытывает момента.


Момент от силы F, действующей на длине L - b равен 0. Обозначим расстояние от левого конца до свободного сечения как x.


M(x) = -F * (L - x) + (q * x * x) / 2 = 0


4. Решим уравнение относительно x для определения положения свободного конца бруса.


-F * (L - x) + (q * x * x) / 2 = 0


-F * L + F * x + (q * x * x) / 2 = 0


(q/2) * x * x - F * x + F * L = 0


Используя квадратное уравнение, получаем:


x = (-(-F) ± sqrt((-F)^2 - 4 * (q/2) * F * L)) / (2 * (q/2))


x = (F ± sqrt(F^2 - 2 * q * F * L)) / q


5. Подставим заданные значения a=1.6, b=0.8, c=1.2, F=100кН, q=300 кН/м, A/A1=2.4 и n=2.4 в найденное выражение для x, чтобы определить перемещение свободного конца бруса.