Как можно представить десятичную дробь 1/3 в виде бесконечной периодической дроби?

Донна

12

Как представить десятичную дробь \( \frac{1}{3} \) в виде бесконечной периодической дроби?

Воспользуемся следующим методом. Разделим числитель на знаменатель: \( 1 \div 3 \). Чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе, умножим и числитель, и знаменатель на 10:

\[
\frac{1}{3} = \frac{1 \times 10}{3 \times 10} = \frac{10}{30}
\]

Теперь у нас есть новая дробь \( \frac{10}{30} \). Повторим шаги, чтобы перевести её в бесконечную периодическую дробь. Опять же, умножим числитель и знаменатель на 10:

\[
\frac{10}{30} = \frac{10 \times 10}{30 \times 10} = \frac{100}{300}
\]

Делаем это ещё раз:

\[
\frac{100}{300} = \frac{100 \times 10}{300 \times 10} = \frac{1000}{3000}
\]

Продолжаем эту последовательность:

\[
\frac{1000}{3000} = \frac{10000}{30000} = \ldots
\]

Как видите, мы получаем все больше нулей после запятой в десятичном представлении. Заметим, что числитель каждой новой дроби совпадает с числителем предыдущей дроби \(\frac{1}{3}\), а знаменатель увеличивается вдвое. Таким образом, числитель всегда равен 1, а знаменатель равен 3, умноженному на степень числа 10. Значит, бесконечная периодическая дробь для \( \frac{1}{3} \) имеет вид:

\[
0.\overline{3} = 0.3333\ldots
\]

Тут \(\overline{3}\) означает, что "3" повторяется бесконечно. Теперь десятичная дробь \( \frac{1}{3} \) представлена в виде бесконечной периодической дроби.