Как можно представить дробь 1/13 в виде суммы двух различных аликвотных дробей?

Солнце_В_Городе

69

Конечно! Для представления дроби \(\frac{1}{13}\) в виде суммы двух различных аликвотных дробей, мы можем использовать метод частичных дробей.

Давайте представим исходную дробь в таком виде:

\(\frac{1}{13} = \frac{A}{B} + \frac{C}{D}\),

где \(A, B, C, D\) - это неизвестные коэффициенты, которые мы должны найти.

Произведем умножение обеих сторон на произведение знаменателей второго слагаемого, чтобы избавиться от знаменателя:

\(D \cdot \frac{1}{13} = \frac{A}{B} \cdot D + \frac{C}{D} \cdot D\).

Теперь у нас есть:

\(\frac{D}{13} = \frac{AD}{B} + C\).

Мы знаем, что знаменатель должен быть одинаковым у обеих дробей в первом слагаемом, а также во втором слагаемом. Мы можем представить знаменатель \(B\) как произведение \(\gcd(AD, D)\) и \(\gcd(AD, 13)\). Здесь \(\gcd\) обозначает наибольший общий делитель.

Таким образом, мы можем записать:

\(B = \gcd(AD, D) \cdot \gcd(AD, 13)\).

Теперь, имея значение \(B\), мы можем выразить \(A\) с помощью следующего соотношения:

\(A = \frac{D}{13} \cdot B - AD\).

Далее, чтобы найти значение \(C\), мы можем заметить, что:

\(\frac{1}{13} = \frac{A}{B} + \frac{C}{D} = \frac{\frac{D}{13} \cdot B - AD}{B} + \frac{C}{D}\).

Мы можем объединить числители обоих дробей:

\(1 = \frac{D}{13} - \frac{AD}{B} + \frac{C}{D}\).

Теперь, чтобы найти значение \(C\), мы можем поместить правую часть уравнения в общий знаменатель и приравнять числитель к 13:

\(13 = D - \frac{13AD}{B} + \frac{13C}{D}\).

Используя соотношения, полученные ранее, мы можем выразить \(C\) через другие переменные. После подстановки всех известных значений и решения уравнения, мы получим окончательные значения \(A, B, C\) и \(D\).

Таким образом, исходная дробь \(\frac{1}{13}\) может быть представлена в виде суммы двух различных аликвотных дробей. Я могу провести расчеты и предоставить вам окончательные значения, если вы хотите.