Как можно разложить вектор С на компоненты по единичным векторам

Zvuk

9

Для разложения вектора \( \mathbf{C} \) на компоненты по единичным векторам нам понадобятся единичные векторы \( \mathbf{i} \), \( \mathbf{j} \) и \( \mathbf{k} \).

Пусть вектор \( \mathbf{C} \) имеет координаты \( (C_x, C_y, C_z) \). Тогда мы можем разложить его на компоненты по направлениям осей \( x \), \( y \) и \( z \) следующим образом:

\[
\mathbf{C} = C_x \mathbf{i} + C_y \mathbf{j} + C_z \mathbf{k}
\]

Здесь \( C_x \), \( C_y \) и \( C_z \) являются проекциями вектора \( \mathbf{C} \) на каждую из осей.

Теперь мы можем вычислить значения компонент вектора \( \mathbf{C} \) следующим образом:

\begin{align*}
C_x &= |\mathbf{C}| \cdot \cos(\theta_x) \\
C_y &= |\mathbf{C}| \cdot \cos(\theta_y) \\
C_z &= |\mathbf{C}| \cdot \cos(\theta_z)
\end{align*}

где \( |\mathbf{C}| \) - длина вектора \( \mathbf{C} \), а \( \theta_x \), \( \theta_y \) и \( \theta_z \) - углы между вектором \( \mathbf{C} \) и каждой из осей \( x \), \( y \) и \( z \) соответственно.

Для вычисления этих углов мы можем использовать следующие формулы:

\begin{align*}
\cos(\theta_x) &= \frac{C_x}{|\mathbf{C}|} \\
\cos(\theta_y) &= \frac{C_y}{|\mathbf{C}|} \\
\cos(\theta_z) &= \frac{C_z}{|\mathbf{C}|}
\end{align*}

Теперь мы можем подставить значения \( C_x \), \( C_y \) и \( C_z \) в разложение вектора \( \mathbf{C} \) и получить его разложение на компоненты по единичным векторам:

\[
\mathbf{C} = (C_x \cdot \mathbf{i}) + (C_y \cdot \mathbf{j}) + (C_z \cdot \mathbf{k})
\]

Таким образом, мы разложили вектор \( \mathbf{C} \) на его компоненты по единичным векторам.