Как можно разложить вектор С на компоненты по единичным векторам

Zvuk

9

Для разложения вектора $\mathbf{C}$ на компоненты по единичным векторам нам понадобятся единичные векторы $\mathbf{i}$, $\mathbf{j}$ и $\mathbf{k}$.

Пусть вектор $\mathbf{C}$ имеет координаты $(C_x,C_y,C_z)$. Тогда мы можем разложить его на компоненты по направлениям осей $x$, $y$ и $z$ следующим образом:

$$\mathbf{C}=C_x\mathbf{i}+C_y\mathbf{j}+C_z\mathbf{k}$$

Здесь $C_x$, $C_y$ и $C_z$ являются проекциями вектора $\mathbf{C}$ на каждую из осей.

Теперь мы можем вычислить значения компонент вектора $\mathbf{C}$ следующим образом:

$$\begin{array}{rl}{C}_x& =|\mathbf{C}|\cdot \cos ({\theta }_x)\\ C_y& =|\mathbf{C}|\cdot \cos ({\theta }_y)\\ C_z& =|\mathbf{C}|\cdot \cos ({\theta }_z)\end{array}$$

где $|\mathbf{C}|$ - длина вектора $\mathbf{C}$, а ${\theta }_x$, ${\theta }_y$ и ${\theta }_z$ - углы между вектором $\mathbf{C}$ и каждой из осей $x$, $y$ и $z$ соответственно.

Для вычисления этих углов мы можем использовать следующие формулы:

$$\begin{array}{rl}\cos ({\theta }_x)& =\frac{C_x}{|\mathbf{C}|}\\ \cos ({\theta }_y)& =\frac{C_y}{|\mathbf{C}|}\\ \cos ({\theta }_z)& =\frac{C_z}{|\mathbf{C}|}\end{array}$$

Теперь мы можем подставить значения $C_x$, $C_y$ и $C_z$ в разложение вектора $\mathbf{C}$ и получить его разложение на компоненты по единичным векторам:

$$\mathbf{C}=(C_x\cdot \mathbf{i})+(C_y\cdot \mathbf{j})+(C_z\cdot \mathbf{k})$$

Таким образом, мы разложили вектор $\mathbf{C}$ на его компоненты по единичным векторам.