Как можно ускорить процесс возведения в степень? Какие рекуррентные соотношения могут использоваться? Вам нужно создать

Yakorica

38

Для ускорения процесса возведения в степень можно использовать алгоритм быстрого возведения в степень, который основан на рекуррентных соотношениях и битовых операциях.

Алгоритм быстрого возведения в степень имеет следующую структуру:
1. Если показатель степени равен 0, то ответ равен 1. Возвращаем 1.
2. Если показатель степени равен 1, то ответ равен самой базе. Возвращаем базу.
3. Для нечетного показателя степени \(n\), вычисляем результат как произведение значения базы \(a\) на результат возведения в квадрат показателя степени \((n-1)/2\). Это выполняется рекурсивно. Возвращаем \(a \times \text{рекурсивный вызов}\).
4. Для четного показателя степени \(n\), вычисляем результат как квадрат значения возведения в степень \((n/2)\). Это выполняется рекурсивно. Возвращаем \((\text{рекурсивный вызов})^2\).

Таким образом, приведенный алгоритм будет иметь временную сложность O(log n), что означает, что количество умножений будет примерно равно log2n.

Применяя указанный алгоритм к задаче с входными данными \(a = 2\) и \(n = 7\), мы получим следующие вычисления:
1. Поскольку \(n\) не равно 0 и 1, мы выполняем рекурсивный вызов снова для \((n-1)/2 = 3\) (так как \(n\) нечетное).
2. Рекурсивный вызов для \((n-1)/2 = 3\) также не равен 0 и 1, поэтому мы выполняем еще один рекурсивный вызов для \((n-1)/2 = 1\) (так как \(n\) нечетное).
3. Рекурсивный вызов для \((n-1)/2 = 1\) равен 1, поэтому возвращаем базу \(a = 2\).
4. Теперь, зная результат рекурсивного вызова для \((n-1)/2 = 1\) равного 2, мы можем вычислить и вернуть результат: \(a \times \text{рекурсивный вызов} = 2 \times 2 = 4\).
5. В конечном итоге, результат возведения числа 2 в степень 7 равен 128.

Точно таким же образом мы можем применить алгоритм к задаче с входными данными \(a = 1.00001\) и \(n = 100000\):
1. Мы получим результат 1 (при \(n = 1\)) для рекурсивного вызова \((n-1)/2 = 0.5\), поскольку показатель степени четный.
2. Затем мы вычислим результат \((\text{рекурсивный вызов})^2 = 1^2 = 1\) для \((n/2) = 50000\).
3. Продолжая по алгоритму, мы получим результат 1 для \((n/2) = 25000\), затем 1 для \((n/2) = 12500\), и так далее, пока не достигнем \((n/2) = 0.5\). Затем мы вычисляем итоговый результат: \(a \times \text{рекурсивный вызов} = 1.00001 \times 1 = 1.00001\).

Таким образом, результат возведения числа 1.00001 в степень 100000 равен примерно 2.71827.

Этот алгоритм позволяет вычислить результат возведения в степень с минимальным количеством умножений, что делает его более эффективным по сравнению с простым способом последовательного умножения.