Как можно вычислить касательное ускорение в конкретный момент времени t, когда скорости точки в движении заданы

Луня

6

Решение:

Касательное ускорение \( a_t \) в какой-то момент времени \( t \) для точки в движении можно вычислить, используя проекции скоростей на оси координат.

Для начала найдем радиус-вектор скорости \( \vec{v} \) точки в момент времени \( t \). Радиус-вектор скорости определяется как \( \vec{v} = v_x \vec{i} + v_y \vec{j} \), где \( v_x \) и \( v_y \) - проекции скорости точки на соответствующие оси координат.

У нас даны проекции скорости:
\[ v_x = 0.2t^2 \ м/с, \]
\[ v_y = 3 \ м/с. \]

Теперь найдем радиус-вектор скорости:
\[ \vec{v} = 0.2t^2 \vec{i} + 3 \vec{j}. \]

Как известно, касательное ускорение \( a_t \) определяется как производная радиус-вектора скорости по времени:
\[ a_t = \frac{d\vec{v}}{dt}. \]

Теперь продифференцируем радиус-вектор скорости \( \vec{v} \) по времени \( t \):

\[ \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d(0.2t^2 \vec{i} + 3 \vec{j})}{dt} = 0.4t \vec{i}. \]

Таким образом, касательное ускорение точки в момент времени \( t \) равно \( 0.4t \ м/с^2 \).

Ответ: Касательное ускорение в момент времени \( t \) равно \( 0.4t \ м/с^2 \).