За какое минимальное количество времени тело достигнет высоты, равной половине максимальной, если оно брошено

Svetlyachok_V_Nochi

52

Для решения данной задачи мы можем использовать уравнение движения тела в вертикальном направлении:

\[h = v_0t - \frac{1}{2}gt^2,\]

где:
\(h\) - высота тела,
\(v_0\) - начальная скорость тела,
\(g\) - ускорение свободного падения,
\(t\) - время.

Мы знаем, что начальная скорость \(v_0 = 10\) м/с, ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с², и мы хотим найти минимальное время \(t\), когда высота тела станет равной половине максимальной.

Подставляя известные значения в уравнение, получим:

\[\frac{h}{2} = 10t - \frac{1}{2}\cdot 10 \cdot t^2.\]

Уравнение можно упростить:

\(2h = 20t - 10t^2.\)

Теперь мы можем записать уравнение в квадратном виде:

\(10t^2 - 20t + 2h = 0.\)

Чтобы найти минимальное время \(t\), при котором высота становится половиной максимальной, нам нужно найти корни этого квадратного уравнения. Применим формулу дискриминанта:

\[D = (-20)^2 - 4\cdot 10 \cdot 2h.\]

\[D = 400 - 80h.\]

Дальше мы можем применить формулу для корней квадратного уравнения:

\[t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a},\]

где \(a = 10\) и \(b = -20\).

Подставим найденные значения и получим два значения для времени \(t_1\) и \(t_2\). Минимальное время будет соответствовать одному из корней. Выберем положительное значение времени, так как оно представляет физический смысл.

\[t = \frac{-(-20) \pm \sqrt{400 - 80h}}{2 \cdot 10}.\]

\[t = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 80h}}{20}.\]

Из условия задачи известно, что высота тела \(h\) равна половине максимальной высоты, то есть \(h = \frac{H}{2}\), где \(H\) - максимальная высота. Подставим это значение в уравнение:

\[t = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 80 \cdot \frac{H}{2}}}{20}.\]

\[t = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 40H}}{20}.\]

Таким образом, минимальное время \(t\) будет равно:

\[t = \frac{20 + \sqrt{400 - 40H}}{20}.\]

Полученное выражение для времени позволяет нам определить минимальное время, за которое тело достигнет высоты, равной половине максимальной высоты.