Как можно выразить вектор CM через векторы CA, CB и CD, если на середине ребра AB находится точка K, а точка

Gleb

14

Для начала рассмотрим данную геометрическую ситуацию подробнее. Пусть AB - это отрезок, на середине которого находится точка K. Также дано, что точка M является серединой отрезка CD.

Мы знаем, что если точка М является серединой отрезка CD, то вектор МD равен вектору MC (так как они имеют одинаковую длину и направление, но противоположные направления).

Таким образом, мы можем выразить вектор CM через вектор MD:

\[\vec{CM} = -\vec{MD}\]

Теперь рассмотрим треугольник CAB. В нем вектор CA направлен от точки C к точке A, и вектор CB направлен от точки C к точке B. Мы можем записать вектор CM как сумму векторов CA и AM:

\[\vec{CM} = \vec{CA} + \vec{AM}\]

Также мы можем записать вектор AM как сумму векторов AK и KM:

\[\vec{AM} = \vec{AK} + \vec{KM}\]

Теперь мы можем объединить все эти векторы, чтобы получить окончательное выражение для вектора CM:

\[\vec{CM} = \vec{CA} + \vec{AK} + \vec{KM}\]

Заметим, что вектор AK можно выразить через векторы CA и CB, так как точка K является серединой отрезка AB:

\[\vec{AK} = \frac{1}{2} \cdot \vec{AB}\]

Теперь подставим это выражение в предыдущую формулу:

\[\vec{CM} = \vec{CA} + \left(\frac{1}{2} \cdot \vec{AB}\right) + \vec{KM}\]

Осталось выразить вектор KM через векторы CA, CB и CD. Мы можем заметить, что вектор KM можно записать как разность векторов KC и MC:

\[\vec{KM} = \vec{KC} - \vec{MC}\]

Теперь мы можем подставить это выражение в предыдущую формулу:

\[\vec{CM} = \vec{CA} + \left(\frac{1}{2} \cdot \vec{AB}\right) + (\vec{KC} - \vec{MC})\]

Наконец, можем заметить, что вектор KC можно выразить через векторы CA и CB, так как точка K является серединой отрезка AB:

\[\vec{KC} = \frac{1}{2} \cdot \vec{CB}\]

Подставляем это выражение в предыдущую формулу:

\[\vec{CM} = \vec{CA} + \left(\frac{1}{2} \cdot \vec{AB}\right) + \left(\frac{1}{2} \cdot \vec{CB}\right) - \vec{MC}\]

Итак, мы получили окончательное выражение для вектора CM через векторы CA, CB и CD:

\[\vec{CM} = \vec{CA} + \left(\frac{1}{2} \cdot \vec{AB}\right) + \left(\frac{1}{2} \cdot \vec{CB}\right) - \vec{MC}\]

Таким образом, выражение вектора CM через векторы CA, CB и CD выглядит следующим образом.