Как найти интервал, где с вероятностью 0,99 будет находиться количество выпадений шестёрки m при 80 бросках игральной

Magicheskiy_Samuray

57

Конечно! Чтобы найти интервал, в котором с вероятностью 0,99 будет находиться количество выпадений шестерки \(m\) при 80 бросках игральной кости, мы можем использовать нормальное приближение биномиального распределения.

Итак, начнем с некоторых определений. Давайте обозначим количество выпадений шестерки как \(X\). В данном случае, \(X\) является биномиально распределенной случайной величиной с параметрами \(n = 80\) и \(p = \frac{1}{6}\), где \(n\) - количество бросков кости, а \(p\) - вероятность выпадения шестерки в каждом броске.

Нормальное приближение биномиального распределения предлагает использовать нормальное распределение с математическим ожиданием \(\mu = np\) и стандартным отклонением \(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\).

Для нашей задачи, мы можем вычислить \(\mu\) и \(\sigma\) следующим образом:

\[
\mu = np = 80 \cdot \frac{1}{6} \approx 13.333
\]

\[
\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{80 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6}} \approx 3.651
\]

Теперь, чтобы найти интервал, где с вероятностью 0,99 будет находиться количество выпадений шестерки \(m\), нам нужно найти значения \(m_1\) и \(m_2\), которые будут определять этот интервал.

Мы можем использовать правило трех сигм (также называемое правилом 99.7%) для определения этого интервала. Оно гласит, что для нормального распределения около 99.7% случайных значений находятся в пределах трех стандартных отклонений от среднего значения.

То есть, мы можем найти \(m_1\) и \(m_2\) следующим образом:

\[
m_1 = \mu - 3\sigma
\]

\[
m_2 = \mu + 3\sigma
\]

Выполним вычисления:

\[
m_1 = 13.333 - 3 \cdot 3.651 \approx 2.381
\]

\[
m_2 = 13.333 + 3 \cdot 3.651 \approx 24.285
\]

Итак, интервал, где с вероятностью 0,99 будет находиться количество выпадений шестерки \(m\) при 80 бросках игральной кости, составляет от 2 до 24 (включительно).

Учтите, что мы использовали нормальное приближение, которое работает хорошо для больших значений параметра \(n\) и когда вероятность \(p\) не слишком близка к 0 или 1. В данной задаче это случай, поэтому нормальное приближение является разумным допущением.