Как найти решение уравнения 5^2х+1-13*15^х+54*9^х-1?

Pushistik

14

Хорошо, давайте решим данное уравнение пошагово.

У нас дано уравнение: \(5^{2x+1} - 13 \cdot 15^x + 54 \cdot 9^{x-1}\).

Шаг 1: Приведение подобных слагаемых.

Обратите внимание, что у нас есть три слагаемых, содержащих различные основания (5, 15 и 9) и различные показатели степени (2x+1, x и x-1). Чтобы привести это уравнение к более простому виду, нам нужно привести подобные слагаемые, то есть сложить или вычитать их.

Мы можем привести слагаемые, содержащие \(15^x\) и \(9^{x-1}\), используя свойства степеней.

Так как \(15 = 5 \cdot 3\), то \(15^x = (5 \cdot 3)^x = 5^x \cdot 3^x\).

Аналогично, мы можем записать \(9^{x-1}\) как \((3^2)^{x-1} = 3^{2(x-1)} = 3^{2x-2}\).

Теперь уравнение примет вид: \(5^{2x+1} - 13 \cdot (5^x \cdot 3^x) + 54 \cdot 3^{2x-2}\).

Шаг 2: Использование свойств степеней.

Для дальнейшего упрощения уравнения воспользуемся свойством степеней и заметим, что \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\).

Мы можем упростить \(5^{2x+1} - 13 \cdot (5^x \cdot 3^x) + 54 \cdot 3^{2x-2}\), объединив подобные слагаемые.

Уравнение будет выглядеть следующим образом:

\(5^{2x+1} - 13 \cdot (5^x \cdot 3^x) + 54 \cdot 3^{2x-2} = 5^{2x+1} - 13 \cdot 5^x \cdot 3^x + 54 \cdot 3^{2x-2}\).

Шаг 3: Приведение подобных слагаемых.

Теперь у нас есть три слагаемых с одинаковым основанием 5, поэтому мы можем привести их вместе.

Уравнение станет:

\(5^{2x+1} - 13 \cdot 5^x \cdot 3^x + 54 \cdot 3^{2x-2} = 5^{2x+1} - 13 \cdot 5^x \cdot 3^x + 54 \cdot 3^{2x-2}\).

Шаг 4: Факторизация.

Мы можем заметить, что \(5^{2x+1}\) - это произведение \(5^2 \cdot 5^x\). Используя свойство степеней \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\), мы можем записать это как \(25 \cdot 5^x\).

Аналогично, \(3^{2x-2} = (3^2)^{x-1} = 9^{x-1}\).

Теперь уравнение примет вид:

\(25 \cdot 5^x - 13 \cdot 5^x \cdot 3^x + 54 \cdot 9^{x-1}\).

Шаг 5: Факторизация по \(5^x\).

Теперь у нас есть три слагаемых с одинаковым множителем \(5^x\). Вынесем \(5^x\) за скобки.

Уравнение станет:

\(5^x \cdot (25 - 13 \cdot 3^x + 54 \cdot 9^{x-1})\).

Шаг 6: Факторизация по \(9^{x-1}\).

Также можно заметить, что \(9^{x-1} = (3^2)^{x-1} = 3^{2(x-1)} = 3^{2x-2}\). Вынесем \(9^{x-1}\) за скобки.

Тогда уравнение будет выглядеть следующим образом:

\(5^x \cdot (25 - 13 \cdot 3^x + 54 \cdot 3^{2x-2})\).

Шаг 7: Поиск решения.

Мы получили уравнение: \(5^x \cdot (25 - 13 \cdot 3^x + 54 \cdot 3^{2x-2}) = 0\).

Когда произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей должен быть равен нулю:

1) \(5^x = 0\) - корень этого уравнения не существует, так как ноль не может быть возведен в любую положительную степень.

2) \((25 - 13 \cdot 3^x + 54 \cdot 3^{2x-2}) = 0\).

Теперь, чтобы найти решение, нам нужно решить второе уравнение относительно переменной \(3^x\).