Как найти решение уравнения 5^2х+1-13*15^х+54*9^х-1?

Pushistik

14

Хорошо, давайте решим данное уравнение пошагово.

У нас дано уравнение: $5^{2x+1}-13\cdot {15}^x+54\cdot 9^{x-1}$.

Шаг 1: Приведение подобных слагаемых.

Обратите внимание, что у нас есть три слагаемых, содержащих различные основания (5, 15 и 9) и различные показатели степени (2x+1, x и x-1). Чтобы привести это уравнение к более простому виду, нам нужно привести подобные слагаемые, то есть сложить или вычитать их.

Мы можем привести слагаемые, содержащие ${15}^x$ и $9^{x-1}$, используя свойства степеней.

Так как $15=5\cdot 3$, то ${15}^x=(5\cdot 3{)}^x=5^x\cdot 3^x$.

Аналогично, мы можем записать $9^{x-1}$ как $(3^2{)}^{x-1}=3^{2(x-1)}=3^{2x-2}$.

Теперь уравнение примет вид: $5^{2x+1}-13\cdot (5^x\cdot 3^x)+54\cdot 3^{2x-2}$.

Шаг 2: Использование свойств степеней.

Для дальнейшего упрощения уравнения воспользуемся свойством степеней и заметим, что $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$.

Мы можем упростить $5^{2x+1}-13\cdot (5^x\cdot 3^x)+54\cdot 3^{2x-2}$, объединив подобные слагаемые.

Уравнение будет выглядеть следующим образом:

$5^{2x+1}-13\cdot (5^x\cdot 3^x)+54\cdot 3^{2x-2}=5^{2x+1}-13\cdot 5^x\cdot 3^x+54\cdot 3^{2x-2}$.

Шаг 3: Приведение подобных слагаемых.

Теперь у нас есть три слагаемых с одинаковым основанием 5, поэтому мы можем привести их вместе.

Уравнение станет:

$5^{2x+1}-13\cdot 5^x\cdot 3^x+54\cdot 3^{2x-2}=5^{2x+1}-13\cdot 5^x\cdot 3^x+54\cdot 3^{2x-2}$.

Шаг 4: Факторизация.

Мы можем заметить, что $5^{2x+1}$ - это произведение $5^2\cdot 5^x$. Используя свойство степеней $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$, мы можем записать это как $25\cdot 5^x$.

Аналогично, $3^{2x-2}=(3^2{)}^{x-1}=9^{x-1}$.

Теперь уравнение примет вид:

$25\cdot 5^x-13\cdot 5^x\cdot 3^x+54\cdot 9^{x-1}$.

Шаг 5: Факторизация по $5^x$.

Теперь у нас есть три слагаемых с одинаковым множителем $5^x$. Вынесем $5^x$ за скобки.

Уравнение станет:

$5^x\cdot (25-13\cdot 3^x+54\cdot 9^{x-1})$.

Шаг 6: Факторизация по $9^{x-1}$.

Также можно заметить, что $9^{x-1}=(3^2{)}^{x-1}=3^{2(x-1)}=3^{2x-2}$. Вынесем $9^{x-1}$ за скобки.

Тогда уравнение будет выглядеть следующим образом:

$5^x\cdot (25-13\cdot 3^x+54\cdot 3^{2x-2})$.

Шаг 7: Поиск решения.

Мы получили уравнение: $5^x\cdot (25-13\cdot 3^x+54\cdot 3^{2x-2})=0$.

Когда произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей должен быть равен нулю:

1) $5^x=0$ - корень этого уравнения не существует, так как ноль не может быть возведен в любую положительную степень.

2) $(25-13\cdot 3^x+54\cdot 3^{2x-2})=0$.

Теперь, чтобы найти решение, нам нужно решить второе уравнение относительно переменной $3^x$.