Как найти точки экстремума и интервалы возрастания и убывания функции f(x)=x^3-5/2x^2-22x+1?

Сказочная_Принцесса

15

Чтобы найти точки экстремума и интервалы возрастания и убывания функции \(f(x) = x^3 - \frac{5}{2}x^2 - 22x + 1\), нам понадобится выполнить несколько шагов. Давайте начнем!

Шаг 1: Найдем производную функции \(f(x)\).
Для этого возьмем производную от каждого члена функции. Производная поможет нам найти значения x, где функция имеет экстремумы, и узнать, когда функция возрастает или убывает. Возьмем производную и обозначим ее символом \(f"(x)\).

\[f"(x) = \frac{d}{dx} \left(x^3 - \frac{5}{2}x^2 - 22x + 1\right)\]

Чтобы найти производную, применим правила дифференцирования для каждого члена функции. Дифференцируя каждый член, получим:

\[f"(x) = 3x^2 - 5x - 22\]

Шаг 2: Найдем точки экстремума.
Чтобы найти точки экстремума, нам нужно найти значения x, при которых производная \(f"(x)\) равна 0 или не существует. Решим уравнение:

\[f"(x) = 0\]

\[3x^2 - 5x - 22 = 0\]

Для решения квадратного уравнения, можно использовать факторизацию, полную квадратность, или формулу дискриминанта. В данном случае, можно воспользоваться формулой дискриминанта. Дискриминант вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\), где a, b и c - коэффициенты квадратного уравнения.

В нашем случае, a = 3, b = -5 и c = -22. Подставим значения в формулу дискриминанта:

\[D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-22)\]

\[D = 25 + 264\]

\[D = 289\]

Дискриминант равен 289. Теперь найдем значения x, используя формулу дискриминанта:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

\[x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 3}\]

\[x = \frac{5 \pm 17}{6}\]

Таким образом, мы получаем два значения x: \(x_1 = \frac{22}{6}\) и \(x_2 = -\frac{12}{6}\), которые равны \(x_1 = \frac{11}{3}\) и \(x_2 = -2\).

Шаг 3: Определим интервалы возрастания и убывания.
Для определения интервалов возрастания и убывания, мы должны проанализировать знак производной \(f"(x)\) на определенных интервалах. Для этого, мы можем взять тестовую точку внутри каждого интервала и проверить знак производной на этом интервале.

Разделим числовую ось на четыре интервала:
Интервал 1: \((-\infty, -2)\)
Интервал 2: \((-2, \frac{11}{3})\)
Интервал 3: \((\frac{11}{3}, \infty)\)

Выберем тестовые точки внутри каждого интервала и подставим их в \(f"(x)\), чтобы определить знак производной.

Для интервала 1: Используем x = -3
\[f"(-3) = 3 \cdot (-3)^2 - 5 \cdot (-3) - 22 = 63 - (-15) - 22 = 56\]
Таким образом, на интервале \((-\infty, -2)\) функция \(f(x)\) возрастает.

Для интервала 2: Используем x = 0
\[f"(0) = 3 \cdot (0)^2 - 5 \cdot (0) - 22 = -22\]
Таким образом, на интервале \((-2, \frac{11}{3})\) функция \(f(x)\) убывает.

Для интервала 3: Используем x = 4
\[f"(4) = 3 \cdot (4)^2 - 5 \cdot (4) - 22 = 48 - 20 - 22 = 6\]
Таким образом, на интервале \((\frac{11}{3}, \infty)\) функция \(f(x)\) возрастает.

Шаг 4: Ответ.
Итак, мы нашли точки экстремума и интервалы возрастания и убывания функции \(f(x) = x^3 - \frac{5}{2}x^2 - 22x + 1\).

Точки экстремума: \(x = -2\) и \(x = \frac{11}{3}\).
Интервалы возрастания: \((-\infty, -2)\) и \((\frac{11}{3}, \infty)\).
Интервал убывания: \((-2, \frac{11}{3})\).

Я надеюсь, что данный развернутый ответ помог вам понять, как найти точки экстремума и интервалы возрастания и убывания функции. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!