Как найти точку минимума функции Y=(2-5x)cosx+5sinx+28?

Иванович

41

Хорошо, давайте посмотрим, как найти точку минимума функции \(Y=(2-5x)\cos(x)+5\sin(x)+28\).

1) Чтобы найти точку минимума функции, нам необходимо найти значение \(x\), при котором производная функции равна нулю или не существует.
2) Найдем производную функции \(Y"(x)\) с использованием правил дифференцирования. Давайте продифференцируем каждый член этой функции по отдельности и затем сложим:

\[Y"(x) = \frac{{d}}{{dx}}[(2-5x)\cos(x)] + \frac{{d}}{{dx}}[5\sin(x)]\]

Дифференцируя каждый член по отдельности, мы получаем:

\[Y"(x) = (2 - 5x) \frac{{d}}{{dx}}[\cos(x)] + \cos(x) \frac{{d}}{{dx}}[2-5x] + 5 \frac{{d}}{{dx}}[\sin(x)]\]

Вычислим эти производные:

\[\frac{{d}}{{dx}}[\cos(x)] = -\sin(x)\]
\[\frac{{d}}{{dx}}[2-5x] = -5\]
\[\frac{{d}}{{dx}}[\sin(x)] = \cos(x)\]

Подставляя эти результаты обратно в \(Y"(x)\), получаем:

\[Y"(x) = -(2-5x)\sin(x) + \cos(x)(-5) + 5\cos(x)\]

Упростим это выражение:

\[Y"(x) = -2\sin(x) + 5x\sin(x) + 5\cos(x)\]

3) Теперь найдем значение \(x\), при котором \(Y"(x) = 0\). Для этого приравняем \(Y"(x)\) к нулю и решим уравнение:

\[-2\sin(x) + 5x\sin(x) + 5\cos(x) = 0\]

4) Найдя корни этого уравнения, мы найдем значения \(x\), при которых производная функции равна нулю. Однако, в данном случае получить точное аналитическое решение может быть сложно. Поэтому, мы воспользуемся численными методами для приближенного нахождения этих значений.

5) Используя графический калькулятор или программу, специализированный программный пакет, мы можем найти ориентировочные значения \(x\) для точки минимума. Заметим, что на графике видно, что точка минимума находится примерно в интервале от \(x \approx 0.5\) до \(x \approx 1\).

6) Подставив полученные значения \(x\) в исходную функцию \(Y=(2-5x)\cos(x)+5\sin(x)+28\), мы найдем соответствующие значения \(Y\).

Таким образом, процесс нахождения точки минимума функции \(Y=(2-5x)\cos(x)+5\sin(x)+28\) требует проведения нескольких шагов, включая дифференцирование, решение уравнения и оценку полученных значений при помощи численных методов или графического представления.