Как найти значение sin 18 с точностью до 0,0001?

Шустрик

33

Чтобы найти значение \(sin(18^\circ)\) с точностью до 0,0001, мы можем использовать метод последовательного улучшения приближений. Для этого воспользуемся формулой половинного угла для синуса.

Первоначально, мы знаем значение \(sin(90^\circ) = 1\), а также знаем, что \(sin(45^\circ) = \frac{{\sqrt{2}}}{{2}}\). Мы можем использовать эту информацию, чтобы найти значение \(sin(18^\circ)\) с требуемой точностью.

Шаг 1: Найдем значение \(sin(9^\circ)\) с точностью до 0,0001. Для этого воспользуемся формулой половинного угла \(\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \sqrt{\frac{{1-\cos(\theta)}}{2}}\) - заметим, что это формула для вычисления значения синуса половинного угла. Подставим \(\theta = 18^\circ\):

\(\sin(9^\circ) = \sqrt{\frac{{1-\cos(18^\circ)}}{2}}\)

Шаг 2: Найдем значение \(\cos(18^\circ)\). Для этого воспользуемся формулой половинного угла для косинуса:

\(\cos(\theta) = \sqrt{\frac{{1+\cos(2\theta)}}{2}}\)

\(\cos(18^\circ) = \sqrt{\frac{{1+\cos(36^\circ)}}{2}}\)

Шаг 3: Найдем значение \(\cos(36^\circ)\). Для этого также воспользуемся формулой половинного угла:

\(\cos(\theta) = \sqrt{\frac{{1+\cos(2\theta)}}{2}}\)

\(\cos(36^\circ) = \sqrt{\frac{{1+\cos(72^\circ)}}{2}}\)

Шаг 4: Найдем значение \(\cos(72^\circ)\). По аналогичной формуле половинного угла:

\(\cos(\theta) = \sqrt{\frac{{1+\cos(2\theta)}}{2}}\)

\(\cos(72^\circ) = \sqrt{\frac{{1+\cos(144^\circ)}}{2}}\)

Шаг 5: Найдем значение \(\cos(144^\circ)\). Еще раз воспользуемся формулой половинного угла:

\(\cos(\theta) = \sqrt{\frac{{1+\cos(2\theta)}}{2}}\)

\(\cos(144^\circ) = \sqrt{\frac{{1+\cos(288^\circ)}}{2}}\)

Шаг 6: Найдем значение \(\cos(288^\circ)\). По формуле:

\(\cos(\theta) = \sqrt{\frac{{1+\cos(2\theta)}}{2}}\)

\(\cos(288^\circ) = \sqrt{\frac{{1+\cos(576^\circ)}}{2}}\)

Продолжая этот процесс, мы будем находить все более точные значения для синуса и косинуса с большими углами, выраженными через более маленькие углы, пока не получим достаточно точное приближение для \(sin(18^\circ)\).